От поста о малой теореме — к посту о великой!
Наверняка вы слышали о ней — возможно, больше о долгих попытках её доказать, а не о самой формулировке. Формулировка же до того проста, что её поймёт даже школьник:
У уравнения aⁿ+bⁿ=cⁿ не существует целочисленных ненулевых решений при n>2. Пьер Ферма сформулировал теорему ещё в 17 веке, а про её доказательство написал, что оно «поистине чудесно», но «поля книги слишком узки для него». Доподлинно неизвестно, действительно ли Ферма нашёл доказательство или пошутил.😄
Или у него правда было короткое доказательство — просто неверное или неполное.
Итак, более 300 лет математики пытались доказать эту теорему.
Сначала этим занимались только учёные, а потом она стала настолько популярна, что к попыткам доказать её присоединились и просто любители математики. Они были настолько активны, что в 1972 году журнал «Квант» написал: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».
К решению этой проблемы привлекали и компьютеры. В 20 веке был период, когда самые мощные в мире компьютеры в фоновом режиме постоянно доказывали эту теорему для частных случаев: когда n равняется конкретному числу. Но общего доказательства всё ещё не было.
Наконец в 1994 году английский математик Эндрю Уайлс с коллегами доказали теорему — и весь математический мир вздохнул с облегчением.
Доказательство занимает более 100 страниц и пост в телеграме слишком узок для него. 😉
Познакомиться с кратким пересказом можно тут, а при очень большом желании можно почитать книгу, в которой объясняется полное доказательство. Всё на английском, и математика там, конечно, ого-го!
В этом и нюанс — доказательство использует современные инструменты (например, теорию Галуа и алгебраическую геометрию), которые никак не могли быть известны Ферма. И вот, несмотря на то, что факт уже доказан, до сих пор есть сообщество людей (их называют Ферматистами), которые пытаются найти то самое «поистине чудесное» доказательство, о котором говорил Ферма. Пока безуспешно.
Теорема Ферма ещё не нашла конкретного применения, однако факты, которые доказывались, по сути, для неё — используются и в других областях математики. Но нам кажется, что её доказывали и продолжают доказывать потому, что формулировка так проста, а короткое решение так долго не находилось — это просто обидно! Вот так математический азарт захватил широкую общественность. :)
А напоследок давайте уйдём чуть в сторону от теоремы Ферма и рассмотрим то же уравнение aⁿ+bⁿ=cⁿ, но в том случае, который она не охватывает. А именно: натуральные n⩽2. Сколько целочисленных ненулевых решений у этого уравнения в таком случае?