Привет! Вчера у нас была задача про прогулки по улицам Питера.
На самом деле она была лишь поводом рассказать вам о треугольнике Паскаля и его связи с возведением двучлена в степень. Но давайте обо всём по порядку.

Зафиксируем на каждом перекрёстке количество возможных способов до него добраться. Тогда количество маршрутов до каждого следующего равно сумме способов добраться до двух предыдущих, ведущих к нему. В этой интерактивной объяснялке подробнее показываем, как получить число на каждом из перекрёстков.

При чём же тут двучлены и возведение их в степень? Дело в том, что получившиеся числа на перекрёстках — это ни что иное, как биноминальные коэффициенты. Бином — это двучлен, например, (a+b). Если мы возводим его в степень, то есть умножаем на самого себя несколько раз, при раскрытии скобок перед каждым буквенным слагаемым будут возникать числа — коэффициенты.
При раскрытии скобок степень переменной a постепенно убывает с n до 0, степень b — возрастает с 0 до n. А сумма показателей в каждом отдельном слагаемом равна n.

Например,
(a+b)² = 1a²+2ab+1b²,
(a+b)³ = 1a³+3a²b+3ab²+1b³,
(a+b)⁴ = 1a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+1b⁴.

Если выписать только коэффициенты из правой части, то получим такой треугольник ⬇️