Все знают, что числа 12345 и 54321 разные: они состоят из одинакового набора цифр, но порядок записи этих цифр очень сильно влияет на то, каким будет число. Это кажется нам логичным и естественным, но так было далеко не всегда. А как ещё можно? Сегодня поговорим о системах счисления и выясним ответ на этот вопрос.
Разберемся с терминологией:
Система счисления — это набор правил, по которым цифры собираются в число. Системы счисления бывают позиционными и непозиционными (бывают и другие, но сегодня о них не будем).
В позиционных системах счисления порядок записи цифр (то есть их позиция) влияет на результат. Например, в привычной нам десятичной системе номер цифры означает степень числа 10, на которую эта цифра умножается. Нумеруем цифры мы справа налево, при этом начинаем с номера 0. То есть, число 12345 — это сокращенная запись суммы
5*10⁰ + 4*10¹ + 3*10² + 2*10³ + 1*10⁴ или
5*1 + 4*10 + 3*100 + 2*1000 + 1*10000.
В непозиционных системах порядок записи цифр не влияет на результат, значения цифр просто складываются. Самая простая непозиционная система счисления возникла очень давно, когда торговцам нужно было считать количество проданного. Во время продажи за каждый товар одного вида (корова, мешок яблок или что угодно еще) на специальной веревочке завязывался узелок — и количество узелков в итоге равнялось количеству единиц проданного товара. Такая система счисления, как можно догадаться, получила название «узелковая». Чтобы выразить ее математически, можно договориться, что числа могут состоять только из единиц (без десяток, сотен, дюжин и чего-то ещё). Тогда количество единиц и равняется самому числу.
В этой системе счисления 11 — это два, 111 — это три, 11 + 111 = 11111 (два плюс три равно пяти) и так далее. Можно заметить, что этот способ записи чисел не очень удобен: занимает много места и быстро отличить 1111111111 от 111111111111 «на глаз» уже непросто.
Поэтому для больших чисел стали придумывать отдельные символы и использовать принцип сложения. Например, в древнеегипетской системе символ | означал единичку, а символ ⋂ — десять. Число 13 можно было записать и как ⋂|||, и как |||⋂. Это сильно сокращает запись, ведь теперь для записи нам нужно всего 4 символа вместо 13 палочек. :) На этой идее построены все древние непозиционные системы счисления, отличаются лишь обозначения.
А вот римская система уже не является чисто непозиционной, ведь там XI и IX — это уже разные числа, зато это ещё экономнее, ведь запись IX короче, чем VIIII.
Но и тут возникают проблемы: мы можем придумать 5 новых цифр для больших чисел, можем придумать 10, но делать так бесконечно не выйдет, и, чтобы записать число «десять тысяч» нам опять придется писать
Действительно, экономность и наглядность — не сильные стороны таких способов записи чисел. Но они были удобны для простейшего бытового счета, а их изучение заставляет ценить привычный нам способ обозначения чисел: позиционные системы счисления.