Парадокс двух конвертов

Сегодня поговорим об одной из классических задач, в которых математика помогает принять решение. Или не очень помогает. 😅

Есть два конверта с деньгами. Известно, что в одном из них в два раза большая сумма, чем в другом. Но неизвестно, какой из них какой. Конверты непрозрачные и по весу тоже ничего угадать нельзя.

Вы открываете один из конвертов, в нём 1000 рублей. Значит, во втором либо 500, либо 2000.
После этого вам делают предложение: вы можете забрать эту тысячу прямо сейчас или сменить конверт на другой. Но тогда уже всё, отправляетесь домой со вторым, что бы там ни оказалось.

Что же здесь выгоднее: не менять исходный конверт или всё же рискнуть и сменить? Что на этот счёт говорит математика?
В реальной жизни люди принимают решения исходя из того, насколько они вообще азартны и является ли первая сумма достаточно большой. Если в первом конверте окажется миллион — то, скорее всего, вы заберёте его, потому что это уже отлиычный выигрыш. Но если там всего 100 рублей, то почему бы не рискнуть? Разница между 50, 100 и 200 психологически не очень большая.

Но ведь математика бессердечна, у неё должен быть один ответ для любых сумм. Есть версия, что ответ этот такой: всегда меняйте конверт на второй.

Почему так? Если в первом конверте x рублей, то содержимое второго конверта описывается случайной величиной, которая может принимать лишь два значения: 0.5x или 2x. И вероятность каждого из них равна 0.5. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно 0.5x*0.5 + 2x*0.5 = 0.25x + x = 1.25x. Это больше, чем исходный x.
Значит, если в первом конверте было 1000 рублей, то во втором конверте в среднем будет 1250 рублей, что больше. А значит, этот вариант выигрышнее, надо брать!

На самом деле — нет. 👀
Потому что если вдруг вам дадут возможность сменить конверт сколько угодно раз, то вы как будто всегда должны это делать, ведь это обещает прирост в 25%. И снова, и снова, и конца этому не видно…

Или вот пусть есть два человека, и каждому из них дали по конверту из исходной задачи. Стоит ли им оставлять свои конверты или обменяться ими? Стратегия гласит, что каждому из них выгоднее совершить обмен. Однако обмен не может быть выгоден сразу обоим игрокам, это противоречит здравому смыслу. Да что, чёрт побери, не так с этой задачей?! Поверьте, очень многое. :))) Проблем там в итоге больше, чем пользы.

Лучшее (хоть и очень эмоциональное) видео на эту тему можно посмотреть здесь.

Спойлер решения: всё тлен, разницы нет, можно не менять конверт. Дебаты всё ещё ведутся, но они скорее о том, почему всё плохо, и считать матожидание тут вообще некорректно.

В общем, это был плохой парадокс. А скоро расскажем про хороший, где теория вероятностей работает нормально и даёт однозначный ответ.