Оказывается, последнее число в строке всегда равно выражению (1 / первое число в следующей строке). Тогда можно постепенно сократить записанное:
8/5 = 1 + 3/5, 5/3 = 1 + 1/(1 + 1/2) ⇒
8/5 = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/2)).
Обычно это выражение записывают как многоэтажную дробь.

Такое представление называется непрерывная дробь или цепная дробь — и действительно, итоговую дробь мы получили, как бы собирая по цепочке все промежуточные результаты.
Через цепную дробь можно выразить любое(!) действительное число, но для рациональных чисел последовательность дробей будет конечной, а вот для иррациональных — бесконечной.

Цепную дробь вида a₁ + 1/(a₂+1/(a₃+...)) можно коротко записать так: [a₁; a₂, a₃, a₄, ...] — гораздо более читаемая и компактная запись.

С помощью цепных дробей можно находить достаточно точные приближения иррационалных чисел: например, если рассмотреть всего лишь первые два символа бесконечной цепной дроби, которая равняется числу π (то есть, дробь [3; 7]), получится число 22/7, которое приближает первые три знака числа π — достаточно хорошая точность.

Приближения иррациональных чисел — не единственная задача, с которой помогают цепные дроби. Они применяются в комплексном анализе и в криптографии. Одним словом, полезная и красивая вещь!

Чтобы закрепить, предлагаем вам посчитать представление двух рациональных чисел в виде цепных дробей: 415/93 и 740785/516901. Ответы, как всегда, ждём в комментариях под скрытым текстом.