Сегодня поговорим про два ряда: тот, что из анекдота и ещё один — он называется гармоническим.
Кстати, название «гармонический» пришло в математику из музыки — такое вот смешение наук!

Для обозначения длинных сумм используется заглавная греческая буква сигма, Σ. Наверняка такую запись вы уже видели: под сигмой записана нижняя граница (в данном случае, 0 или 1) над сигмой — верхняя, (в данном случае это ∞), а правее указан общий вид слагаемых.

Кажется, что сумма бесконечного числа слагаемых всегда будет бесконечной — зачем вообще заниматься такими штуками? На самом деле, всё не так просто. Даже если рассматривать только ряды с положительными слагаемыми, будет много случаев, когда в итоге получится вполне конечная сумма — про такие ряды говорят, что они сходятся. Вернёмся к анекдоту из начала: можно заметить, что каждое следующее число было в два раза меньше предыдущего: 1, 1/2, 1/4, ….

Если просуммировать все эти числа (которых бесконечное количество!), то получится ровно 2. Есть разные доказательства этого факта, вот, например, видео, где приведены алгебраическое и геометрическое. Там правда рассматривают ряд, который начинается не с 1, а сразу с 1/2 — но и ответ на единичку меньше, так что всё в порядке.
Вот мы и нашли бесконечный ряд, сумма которого — не бесконечность!

А теперь посмотрим на очень похожую, на первый взгляд, сумму: сначала возьмём 1, потом 1/2, 1/3, 1/4 и так далее — в знаменатель последовательно ставим все натуральные числа. Сходится ли такой ряд? На самом деле, нет: начиная с какого-то момента сумма этого ряда будет больше любого числа, какое бы мы ни выбрали.
Поверить в это сложно, ведь ряд растёт ну ооочень медленно: чтобы получить суммарный результат больше 100, нужно взять примерно 10⁴⁴ слагаемых. 😅

Классическое доказательство расходимости гармонического ряда приведём в комментариях, заглядывайте!

Примечательно, что если бы числа в знаменателе были возведены в какую-то степень, большую 1 (подойдет даже степень 1.1), то ряд бы сошёлся — но это уже совсем другая история. ☺️