Нецелая размерность фракталов

Сегодня поговорим о том, про что уже давно было пора — про фракталы. Потому что, во-первых, это красиво! А во-вторых — очень увлекательно.

Начнём с определения (одного из): фрактал — это бесконечная самоподобная фигура. Представьте, что у вас есть дерево, каждая веточка которого — точная уменьшенная копия этого дерева, сколько ни зумь! Но это в теории. В реальности же фракталы не столь идеальны и уж точно не всегда бесконечны.

Занимательный факт про фракталы: у них нецелая размерность. Что это значит?
Давайте сравним фракталы с одномерными, двумерными и трёхмерными фигурами. Представим, что эти фигуры сделаны из железа и обладают массой — она будет нам важна.

Начнём с одномерного отрезка. Что его одномерность значит с математической точки зрения? Пусть тонкий железный прут длины 1 имеет некую массу x, тогда такой же прут длины 2 имеет массу в 2 раза больше. Во сколько раз увеличилась длина — во столько же и масса.

Теперь возьмём тонкую квадратную пластину, она двумерна. Если мы увеличим сторону квадрата в 2 раза, то его площадь увеличится в 4 раза. И масса пластины, как следствие, тоже увеличится в 4 раза.

Затем возьмём железный кубик, он трёхмерный. При увеличении его ребра в 2 раза, объём увеличится в 8 раз, поэтому масса тоже увеличится в 8.

Каждый раз при увеличении ребра фигуры в 2 раза, масса увеличивалась в 2^{размерность фигуры} раз. У отрезка в 2¹, у квадрата в 2², у кубика в 2³. Во всех случаях показатели степени были целыми числами. А в какую степень придётся возводить для получения массы нового фрактала? В каждом случае будет свой ответ, сегодня рассмотрим один известный.