Неизвестно, сколько всего купонов нам придётся купить, чтобы собрать всю коллекцию. Значит, это случайная величина! Обозначим её: пусть X — случайная величина, описывающая количество купленных купонов до успеха.

Мы хотим определить, сколько в среднем нужно купить купонов, чтобы собрать всю коллекцию. Среднее значение случайной величины — это её математическое ожидание. Значит, ищем E(X).

Пусть у нас уже есть i-1 различных купонов, и нам нужен i-й новый купон. Снова неизвестно, какое количество покупок нужно совершить, чтобы его получить. Значит, это тоже случайная величина. Обозначим: xᵢ — случайная величина, описывающая количество купонов, которое нужно купить, чтобы получить i-й новый купон. Если коллекция состоит из V купонов, тогда всего у нас получится V таких случайных величин: x₁, x₂, …, xᵥ.

Запишем матожидание общего числа купонов:
E(X) = E(x₁ + x₂ + … + xᵥ) = E(x₁) + E(x₂) + … + E(xᵥ).

Случайные величины xᵢ описывают явления вида «количество попыток до первого успеха», а значит, для модели подойдёт геометрическое распределение. Посчитаем значение матожидания E(xᵢ). Вероятность получить новый купон равняется (V-i+1) / V, а матожидание для геометрического распределения обратно вероятности. Тогда E(xᵢ)=V/(V-i+1).

Запишем формулу для среднего X:
E(X) = V/V + V/(V-1) + … + V =
= V*(1/V + 1/(V-1) + … + 1) =
= V*(1/1+ 1/2 + 1/3 + … + 1/V).
Число в скобках — это частичная сумма гармонического ряда (про него подробнее ещё расскажем, он интересный).

На первый взгляд может показаться, что результат не очень большой. Для маленьких наборов так и есть. Например, чтобы собрать комплект из 5 купонов, нужно, в среднем, сделать около 11 покупок — примерно в два раза больше размера коллекции.
Но значение быстро растёт. Например, для V = 10 матожидание E(X) примерно равно 30 — в три раза больше размера коллекции. А для V= 30 его значение уже приближается к 120. Получается, чтобы собрать набор из 30 разных купонов, нужно в среднем совершить аж 120 покупок — в 4 раза больше, чем хотелось бы. 😅

Быть коллекционером непросто! Если задумали собрать полную коллекцию, то запасайтесь терпением. :)

Лучшее завершение поста — это задача. Пусть в киндер-сюрпризах спрятана коллекция бегемотиков из 8 штук. Будем считать, что это единственная серия в продаже и вероятность встретить каждую игрушку одинакова.
Посчитайте, сколько в среднем киндеров надо купить, чтобы собрать весь набор?
Решения и ответы ждём, как всегда, под скрытым текстом.