В геометрии Евклида сумма углов в треугольнике всегда равна 180°, а в других геометриях это утверждение неверно.
В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180°. Конкретное значение не зафиксировано — оно может меняться в зависимости от того, как изогнута поверхность и от места расположения треугольника на поверхности.
В геометрии Римана сумма углов в треугольнике больше 180°, но меньше 540°, фиксированного значения тоже нет. Конечно, сфера сама по себе меняться не может, но сумма углов зависит от выбранного треугольника. Поэтому в геометрии Римана существует, например, треугольник, все углы которого — прямые, то есть, по 90°. Ну очень прямоугольный треугольник!

Эти свойства интересны не только в теоретическом смысле, но и имеют практическое применение — например, в астрономии. Планеты по форме близки к шару, поэтому удобно изучать их с помощью геометрии Римана. Находить радиус планеты помогает именно сферический треугольник на её поверхности. Для этого используют формулу: R² = S / (∠A + ∠B + ∠C - π). Здесь R — радиус планеты, S — площадь этого треугольника, ∠A, ∠B, ∠C — его углы в радианах.

Мы ещё поговорим о применении неевклидовых геометрий в следующих постах!