Возьмём когорту курса по математике из 30 человек. Для простоты будем считать, что в году 365 дней и вероятность родиться в каждый из них одинакова. Эти предположения влияют на результат незначительно, а считать так будет проще.

Найдём вероятность противоположного исхода, то есть вероятность того, что все студенты родились в разные дни.
Возьмём любого студента. Его день рождения может выпасть на один из 365 дней.
Берём второго студента. Если он родился в любой из оставшихся 364 дней, то дни рождения не совпадут — вероятность этого равна 364/365.
Добавим третьего. Если он родился в любой из оставшихся 363 дней, то все три дня рождения будут в разные дни. Вероятность этого равна (364/365)*(363/365).
И так далее: добавляем нового человека — добавляем новый множитель в произведение.

Для когорты в 30 человек вероятность того, что дни рождения всех студентов попадут на разные дни, составляет около 29%. Значит, вероятность хотя бы одного совпадения равна 71% — немало! То, что происходит в жизни, подтверждается математикой.

Если же в когорте 57 человек, то вероятность того, что дни рождения хотя бы у двоих совпадут, становится больше 99%. Хотя, опять же — всего 57 человек и целых 365 дней.

На такие неожиданные результаты влияют два фактора: психологический и математический.

Психологический заключается вот в чём. Когда люди думают про совпадение дней рождения, они обычно удивляются совпадению у конкретных людей: «Надо же, Вася и Маша родились в один день!». В задаче же мы рассчитали совпадение не для конкретной пары, а вообще для двух любых человек из группы. Случайность не «думала» именно об этой паре, совпадение дат у Васи и Маши — просто реализация одного из исходов, например, как выпадение именно 3 на игральном кубике.

Математический фактор связан с тем, что вероятность — это число от 0 до 1. Когда мы рассчитываем вероятность того, что все дни рождения будут разными, мы перемножаем такие числа. Чем больше таких множителей, тем меньше получается результат. И тогда вероятность совпадения быстро растёт.

Получается, в научном смысле эта ситуация не парадокс: логического противоречия здесь нет. Здесь речь о том, что интуиция не соответствует результату математического расчёта.

Напоследок предлагаем задачу без парадоксов, но про день рождения. Пусть в группе 31 человек вместе с вами. Какова вероятность того, что найдётся хотя бы один человек, у которого день рождения в тот же день, что и у вас?