Первым делом напомним, что прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 — это знаменитый египетский треугольник, гипотенуза которого равна 5 (и да, это можно легко проверить с помощью теоремы Пифагора).
1️⃣Найдём радиус вписанной окружности r.
Как известно, для любого треугольника S = p⋅r, где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.
Площадь S = ½ ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 см². Полупериметр p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см. Таким образом, r = 6 / 6 = 1 см.
2️⃣ Площадь круга равна π⋅r² = π⋅1² = π см².
На самом деле этот факт широко известен и действительно достоин удивления. Посудите сами: сторонами треугольника является пифагорова тройка 3-4-5 — целые числа. Площадь треугольника, полупериметр и даже сам радиус вписанной окружности — тоже целые числа. А площадь круга в итоге выражает число π в чистом виде.
Можно сказать, что это просто совпадение, но тем не менее самый известный целочисленный треугольник содержит вписанную окружность, площадь которой в точности равна π.
Нас такие совпадения завораживают! Если вас тоже, то возвращайтесь к нашим недавним постам про π. Нам кажется, что они собрали незаслуженно мало реакций➗🔄
▶️про π в искусстве
▶️про нормальность и иррациональность π
#задача