🔴Биномиальное распределение — биномиальный закон распределения вероятностей. Это наиболее распространённый вид дискретного распределения. Пусть проводится независимых испытаний (не обязательно повторных), в каждом из которых случайное событие может появиться с вероятностью p. Тогда случайная величина – число появлений события в данной серии испытаний, имеет биномиальное распределение.

Соответствующие вероятности определяются формулой Бернулли: P(k) = Cₙᵏ · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ { k успехов в n испытаниях. Вероятность успеха = p. }
• Cₙᵏ = сочетания (число способов выбрать k из n)
• pᵏ — успех повторился k раз
• (1-p)ⁿ⁻ᵏ — неудача в остальных испытаниях

Например: монета подбрасывается 5 раз. Тогда случайная величина – количество появлений орла распределена по биномиальному закону. Орёл обязательно выпадет:
Или 0 раз, или 1 раз, или 2 раза, или 3 раза, или 4 раза, или 5 раз. Подставляем для k=3 (три орла): P(3) = C₅³ · 0.5³ · 0.5² = 10 · 0.125 · 0.25 = 0.3125

▪️ При p = 0.5 и n = 6 самое вероятное k = 3, но всего 31.25%.
▪️ Формула — это часть бинома Ньютона: ∑ₖ₌₀ⁿ Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ = (p+q)ⁿ = 1ⁿ = 1. Поэтому распределение и называется биномиальным.
▪️ Через треугольник Паскаля: Cₙᵏ — это n-я строка, число k+1. Например, C₅² = 10.
▪️ При малых p и больших n биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона: P(k) ≈ (λᵏ · e⁻λ) / k! где λ = n·p
▪️ Правило «ноль-единица»: если n·p маленькое (например, 0.1), то самое вероятное k = 0 или 1. Остальное почти невозможно.
▪️ Математическое ожидание: E = n·p. Дисперсия: D = n·p·(1-p). При p=0.5 дисперсия максимальна.
▪️ Биномиальный коэффициент Cₙᵏ симметричен: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ. Поэтому график симметричен только при p = 0.5.
▪️ В реальности применяется: контроль качества, A/B-тесты, генетика, опросы «да/нет», криптовалютные валидаторы.
▪️ Парадокс: если p = 0.1, n = 100, то среднее = 10. Но вероятность получить ровно 10 всего ~13%. А получить от 5 до 15 — около 80%.

❓ ЗАДАЧА. Бросаем правильный кубик n = 10 раз. Успех: выпала грань «6». Вероятность успеха в одном броске: p = 1/6 ≈ 0.1667. Вероятность неудачи: q = 1 − p = 5/6 ≈ 0.8333. Случайная величина K — число успехов (шестёрок) в серии из n бросков. K подчиняется биномиальному закону. При каком значении k вероятность P(K = k) будет наибольшей? Иными словами: какое количество шестёрок выпадает с максимальным шансом? #видеоуроки #научные_фильмы #математика #статистика #физика #МКТ #теория_вероятностей

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib