🌪 Однополостный гиперболоид — кривая поверхность держит небоскрёбы

Представьте поверхность, которая одновременно и кривая, и состоит из прямых. Звучит как парадокс, но именно так устроен однополостный гиперболоид — фигура, которая незаслуженно остаётся в тени своих более «раскрученных» родственников вроде сферы или параболоида. Математически всё просто. В декартовых координатах однополостный гиперболоид задаётся уравнением: x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1

Выглядит как бесконечная труба, сужающаяся к «талии» и снова расширяющаяся. Если a = b, получается гиперболоид вращения — его можно получить, вращая гиперболу вокруг мнимой оси. Но самое интересное начинается дальше. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямые, целиком лежащие на поверхности. Не одна, а две — и они принадлежат двум разным семействам. Прямые внутри одного семейства между собой не пересекаются, а вот прямые из разных семейств пересекаются всегда. Именно это свойство делает гиперболоид жёсткой конструкцией: если соединить балки шарнирно по образующим, каркас не сложится. Обычная сетка из прямых палочек, а держит форму не хуже сварной рамы.

Гауссова кривизна однополостного гиперболоида всюду отрицательна: K = −1/a². Это значит, что треугольники на его поверхности имеют сумму углов меньше 180° — геометрия Лобачевского в чистом виде. В физике такие поверхности всплывают в теории относительности: однополостный гиперболоид описывает структуру пространства-времени в модели анти-де-Ситтера. А ещё он служит моделью поверхностей Ферми в физике твёрдого тела.

Владимир Шухов первым догадался использовать гиперболоид в строительстве. Его Шаболовская башня в Москве — это 80 прямых стальных профилей, пересекающихся по образующим. Всего Шухов построил более 200 таких башен. А ещё он проектировал гиперболоидные маяки, водонапорные башни и даже опоры ЛЭП.

Форма гиперболоида — у градирен атомных станций (лучший естественный обдув), у аэраторов для воды (струя разбивается о гиперболоидную насадку и насыщается воздухом), у башни «Хан-Шатыр» в Астане и диспетчерской башни аэропорта Барселоны. А ещё существует «кособокий» однополостный гиперболоид — поверхность, у которой каждая образующая пересекает не три, а четыре прямые, и есть линия разрыва, нарушающая непрерывность. Такой вариант в классических учебниках не описан — его открыли только в 2019 году. #математика #опыты #сопромат #физика #геометрия #видеоуроки #physics #science #эксперименты #наука

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib