📕«Пределы, пределы повсюду: Инструменты математического анализа» [2012] Дэвид Эпплбаум

Самая сильная сторона этой книги — её доступность. В отличие от 99% стандартных учебников по матанализу (типа Фихтенгольца, Зорича или Рудина), которые с первой же страницы требуют от читателя если не виртуозного владения производными, то хотя бы железной воли, Эпплбаум начинает практически с нуля. Он не предполагает, что вы уже знаете дифференциальное и интегральное исчисление. Более того, он сознательно избегает двух пугающих новичков тем — аксиоматической теории множеств и доказательств по индукции (вынося их в приложения). Это смелое, но оправданное решение, которое позволяет не потерять читателя на первых ста страницах.

Книга логично разбита на две части:
▪️ Первая часть — это классический курс элементарного вещественного анализа: числа, неравенства, сходимость последовательностей, бесконечные ряды. Всё это подано в формате «теорема-доказательство», но с гораздо более подробными выкладками, чем в обычных учебниках. Автор словно держит вас за руку и проговаривает каждый шаг. В конце каждой главы есть упражнения — без них, увы, анализ не освоить, но они не выглядят садистскими.
▪️ Вторая часть — настоящая жемчужина. Именно здесь оправдывается подзаголовок «Инструменты математического анализа». Вместо скучного перечисления свойств интегралов Эпплбаум показывает, что можно сделать с помощью пределов. Вы найдёте здесь:
— изящные доказательства иррациональности числа e и (что гораздо реже встречается) числа π;
— введение в дзета-функцию Римана — ту самую, что связана с Великой гипотезой;
— теорию бесконечных множеств Кантора и дедекиндовы сечения;
— цепные дроби и даже краткий исторический очерк.

Для читателя, который привык к популярным книгам типа «Вот это математика!» или «Как не ошибаться», этот раздел станет идеальным мостиком: он одновременно и строг, и увлекателен. Вы наконец поймёте, зачем аналитикам понадобилось всё это «эпсилон-дельта»-колдовство.

Из минусов стоит отметить, что книга всё же требует определённой зрелости мышления. «Расслабленное введение», обещанное в аннотации, не означает, что можно читать её в метро под музыку. Некоторые доказательства (особенно в части о дзета-функции) требуют усидчивости и перечитывания. Кроме того, полное отсутствие связи с дифференциальным и интегральным исчислением может показаться странным тем, кто привык видеть в анализе прежде всего инструмент для физики. Но это сознательный выбор автора, и он честно предупреждает о нём с первых страниц.

📙 Limits, Limits Everywhere The Tools of Mathematical Analysis [2012] David Applebaum

A quantity can be made smaller and smaller without it ever vanishing. This fact has profound consequences for science, technology, and even the way we think about numbers. In this book, we will explore this idea by moving at an easy pace through an account of elementary real analysis and, in particular, will focus on numbers, sequences, and series.
Almost all textbooks on introductory analysis assume some background in calculus. This book doesn't and, instead, the emphasis is on the application of analysis to number theory. The book is split into two parts. Part 1 follows a standard university course on analysis and each chapter closes with a set of exercises. Here, numbers, inequalities, convergence of sequences, and infinite series are all covered. Part 2 contains a selection of more unusual topics that aren't usually found in books of this type. It includes proofs of the irrationality of e and π, continued fractions, an introduction to the Riemann zeta function, Cantor's theory of the infinite, and Dedekind cuts. There is also a survey of what analysis can do for the calculus and a brief history of the subject. #math #математика #математический_анализ #calculus

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib