Партизанская математика

Из статьи Александра Шеня «О непостижимой (не)эффективности преподавания математики»:

Для успешного преподавания нужно, чтобы изучаемое было понятным, посильным и интересным. Математические доказательства должны восприниматься как убедительные рассуждения о чем-то реальном, а не как произвольный материал для заучивания. Решение задач — как выяснение истины, а не загадочные действия по образцу. Когда-то, будучи в гостях у своего товарища в Англии, я спросил его сына, что они проходят в школе. «Сложение и вычитание». — «А знаешь, сколько будет 100 минус 1?» Вопрос этот оказался трудным, и я решил спросить иначе: «Сколько будет сдачи, если платить фунт, а товар стоит пенс?» — «99 пенсов, но при чем тут это?» — был немедленный ответ.

И. М. Гельфанд любил рассказывать, как работяги в вечерней школе, не умевшие сравнить 2/3 и 1/2, ни секунды не колебались в ответе на вопрос «Что лучше: две бутылки на троих или одна на двоих?». Впрочем, когда мой коллега по моей просьбе задал подобный вопрос своим детям (видимо, не имевшим достаточного опыта), только один из троих ответил правильно. (Интересно, что одна из ответивших сказала, что «для этого надо сравнить по величине дроби», но не смогла этого правильно сделать.)

Не смог сейчас найти, в какой книге я это читал, но помню примерно такую историю. Рассказчик вспоминает, как в школе учитель добивался ответа от его соученика, задавая всё более простые вопросы, и наконец спросил: куда покатится шар, если положить его на наклонную плоскость — вверх или вниз? Растерянный ученик сказал, что вверх, — и учитель дал волю гневу. Когда всё утихло, рассказчик спросил товарища удивленно: «Зачем ты так, неужели ты не знаешь, куда покатится шар?» — «Настоящий шар, конечно, вниз — но кто его знает, как там у вас...»

Хорошие наблюдения от коллеги:

К сожалению, школа оторвана от реальной экономики (не важно бизнес это или наука) и может спокойно вариться в собственном соку имитации учебы. Но проблема в том, что такая имитация работы крайне отравляет детские мозги. Дети на голубом глазу могут быть уверены, что они учатся. Да, не олимпиадники, конечно, но ведь по ОГЭ четверка и все нормально. А то, что четверка ОГЭ это уровень двоечника (подставить цифры в выданные формулы), об этом дети не могут догадаться в силу ограниченности опыта.

Поэтому я решил, что уж лучше пусть дети вообще не учатся (если не хватает времени поучить их как следует), чем считают учебой то, что ей не является. И я рад, что у меня получилось. Дочери могут лоботрясничать, это правда. И учиться они не всегда хотят. Но они хотя бы знают, что не является учебой. Поэтому, если они попадают на курсы, где вместо учебы их начинают развлекать, то у них сразу возникает недоумение: развлекаться мы и дома можем, а сюда мы учиться пришли. И я считаю, это отличным достижением.

В результате, неплохое образование достигается не потому, что дочери много учатся. Просто остальные учатся еще меньше. Как-то при подруге я ворчал на дочь: почему-де она устала, у нее же всего два урока сегодня было. На что подруга глубокомысленно заметила "да ваши два урока как наши восемь".

И это правда. Два урока в день - это очень мало (я стараюсь чтоб их было хотя бы 3-4). Но даже это гораздо больше, чем восемь уроков утомительной имитации учебы в школе.

На youtube-канале «Вечерний разговор | Юлия Билинкис» вышла серия видео, посвященная образованию.

Очень хороший, плотный материал, рекомендую ознакомиться:
Как мы превратили детей в стартапы: экономика детства
Как школа готовит к миру, которого больше нет
Советская школа была права? Что мы потеряли в образовании
Учителя больше не нужны? Образование в эпоху AI

Вот пара цитат оттуда.

Про геймификацию:

Как пытаются решить эту проблему вовлечённости? Например, с помощью геймификации.
Идея здесь такая: дети не хотят учиться, потому что им скучно. Превратите математику в Minecraft, дайте им виртуальные ачивки, лиги, страйки, бейджики, и они будут грызть гранит науки с утра до ночи. Вообще, геймификация – это самое дорогое педагогическое надувательство нашего века. В эту иллюзию вкачали десятки миллионов долларов. Каждая вторая образовательная платформа превратилась в виртуальное казино, где за каждый чих ребёнка выдают монетки, звёздочки, салютики на экране.
И к чему это всё привело? А привело это к тому, что психологи называют эффектом сверхоправдания.
Мозг ребёнка мгновенно просёк фишку. Он начал учиться не ради математики или физики, а ради виртуального кристалла или сохранения страйка. Дети превратились в гениальных геймеров. Они начали хакать эти системы, угадывать ответы методом тыка, выбирать самые дешёвые и лёгкие задачки, лишь бы набрать виртуальные очки и опередить одноклассников турнирной таблице. Мы получили прекрасного игрока в кликер, у которого в голове по предмету абсолютный ноль.
Потому что геймификацией можно научить собаку Павлову нажимать на педаль за сахарок. Геймификацией можно выучить 50 иностранных слов для поездки в отель, но вы не можете геймифицировать высшие функции мозга. Вы не можете превратить в лёгкую, весёлую игру выведение сложных физических законов, написание глубоких эссе или понимание философии. Понятийное мышление требует когнитивного усилия, тишины и глубокой концентрации, а не вылетающих из экрана цветных конфетти.
И вот вам итог десятилетия геймификации.
Массовый рынок получил дофаминовый фастфуд. Где ребёнок искренне верит, что он учится, пока просто нажимает на яркие кнопки в приложении. А элитные школы выкинули эти виртуальные ачивки и вернулись к живому человеческому общению, очным спорам, сложным текстам и реальному академическому труду.

Про AI в образовании:

В присутствии нейросети ваш уровень решения задач взлетает до небес. C AI вы гений, Илон Маск и Лев Ландау в одном флаконе. Но АI способен до небес накачать результат, показатели, видимую продуктивность, вообще не тронув реальную компетенцию. Поэтому да, он даёт идеальный сервис по дорешиванию задач, но убивает когнитивную трансформацию.
Почему так происходит? Потому что мозгу нужны ошибки, а не ответы.
Ошибка – это сигнал обучения.
Когда ребёнок пытается решить задачу и ошибается, мозг получает конфликт. Моя текущая модель мира не объясняет реальность. И именно этот конфликт заставляет перестраивать модель.
И вот вам главный вывод, от которого сегодня так тщательно уворачиваются все популяризаторы нейросетей. И является феноменальным усилителем для тех, у кого база уже есть, и идеальным стерилизатором мозгов для тех, у кого этой базы ещё нет.
Учите детей вспоминать термин, а не подсматривать в телефоне, пробовать сформулировать аргумент и обнаруживать, что он разваливается, решать задачу и упереться в противоречие. 5 минут сидеть, обхватив голову руками, пытаться вытащить из памяти нужную дату. Всё это выглядит медленно, неэффективно, дорого и неприятно. Но именно эти мучительные секунды и строят в голове внутреннюю модель проблемы.
Скорость выполнения задачи и скорость обучения часто движутся в противоположные стороны. Интеллектуальная борьба, ошибки и попытки вспомнить, это не отходы производства, это зачастую и есть сам продукт обучения. Это значит, возможно, что нужно оставить эту неэффективную, медленную, дорогую человеческую работу намеренно сохранять там же, где мы сохраняем, например, спортивную тренировку в фитнес-клубе.

Если кому-то удобнее печатный формат, я прикрепил к посту расшифровку текстов

Очередная песня про то, что репетиторы теперь больше не нужны…
-----
МОСКВА, 8 сентября. /ТАСС/. Все необходимые условия для подготовки к единому государственному экзамену (ЕГЭ) без помощи репетиторов есть у старшеклассников в РФ, поскольку все школы работают по единым федеральным образовательным программам, а содержание обучения полностью соответствует требованиям ЕГЭ. Об этом в интервью ТАСС заявил министр просвещения РФ Сергей Кравцов.
"Сегодня старшеклассник может подготовиться к ЕГЭ без репетитора - для этого у него есть необходимая образовательная база. Все школы страны работают по единым федеральным образовательным программам и поурочному планированию, а содержание обучения полностью соответствует требованиям экзамена. Продолжается также разработка и внедрение единых государственных учебников", - сказал Кравцов.
Министр подчеркнул, что задача школы - формировать прочные системные знания и навыки, а не натаскивать на тесты. В министерстве внимательно следят за учебной нагрузкой - доля контрольных и проверочных работ по каждому предмету не превышает 10% учебного времени, что позволяет избежать перегрузок и оставить время для системного освоения материала.
https://tass.ru/obschestvo/28088997

Несколько youtube-каналов, которые я для себя открыл этим летом, с указанием пары видео, которые мне особенно понравились:
 
1. Канал Kris x Math
а) Отличия в обучении школьной и высшей математики
б) Жалею ли я об учёбе на мехмате МГУ?
 
2. Канал Мария Считает
а) Почему школьникам нельзя объяснять как взрослым
б) Нет глупых людей, есть неподходящее обучение
 
3.  Канал blablablarden
а) Почему ушёл из профессии математика
б) Как выучить математический анализ с нуля
 
4. Канал Владимир Плотников
а) Генеративное обучение: как учиться эффективнее
б) Протокол инкубации: как заставить подсознание работать на 100%

Профиль: 70, 80, 92, 94, 97, 100
База: 15
ОГЭ: 28, 29
ДВИ МГУ: 100 баллов
Олимпиады:
1) Ломоносов – II диплом
2) ОММО – III диплом, Шаг в будущее – II диплом

Да, с каждым годом хорошее образование всё сложнее и сложнее получить.
Даже при наличии денег не факт, что получится найти нормальную школу и грамотных репетиторов.

«В России изменилось представление о престижной жизни: главными признаками статуса россияне считают возможность дать детям качественное образование (50%) и получить хорошую медицинскую помощь (39%), а не наличие дорогой машины или мебели. Об этом свидетельствуют данные опроса ВЦИОМ, проведенного среди 1600 респондентов.
За два десятилетия иерархия ценностей сместилась в сторону социальной защищенности. Если в 2006 году главным маркером успеха было хорошее жилье (55%), то теперь на первом месте — образование для детей. Качественная медицина за этот же период поднялась с 21% до 39%, а возможность покупки квартиры — с 23% до 32%. Автомобиль сейчас считают признаком статуса лишь 15% опрошенных, дорогую мебель — всего 3%.»
https://www.kp.ru/online/news/7027630/

Прекрасная сатира от ИА Панорама:

В Минпросвещения предложили создать для репетиторов тьютор-коворкинги, где они могли бы заниматься сразу с многими учениками.

В министерстве просвещения разрабатывают инновационную концепцию, которая многократно повысит эффективность работы репетиторов. Предполагается, что для них создадут всероссийскую сеть тьютор-коворкингов, в которых можно будет заниматься сразу с многими учениками – например, с двумя или тремя десятками.
Предполагается, что репетитор должен будет приходить в учреждение и проводить занятие или читать лекцию в течение 45 минут. Чтобы легко доносить информацию до всей аудитории, в помещении установят большой экран, проектор или настенный чалкборд, подобный тем, на которых иногда пишут меню в кафе. Таких занятий у работника может быть не более 5-6 в день, причём каждый раз перед разными группами учеников. Для контроля эффективности тьюторов и успеваемости их клиентов, предлагается ввести систему оценки знаний – учащихся ожидают различные тесты и проверочные работы, результаты которых будут записывать в специальный журнал.
«Я бы назвал этот проект если не революционным, то по крайней мере очень востребованным, – делится один из членов рабочей группы. – Сейчас у нас очень большой спрос на репетиторов в стране, люди тянутся к знаниям, причём в основном это дети по моим наблюдениям. Нужно создать достаточно эффективную систему, чтобы всю эту сферу регулировать и контролировать».
В ведомстве также учли значительное расслоение доходов репетиторов – кто-то зарабатывает 50 тысяч в месяц, а кто-то столько получает за несколько дней. Эту проблему предполагается решить, установив для всех одинаковые ставки и зарплату, которую будет выплачивать государство.

Как определить, что скоро конец учебного года и школьникам предстоят ЕГЭ и ОГЭ?
Всё просто: в сети чаще появляются статьи, в которых предлагают запретить репетиторов, обвиняя их во всех бедах…

Газета.ру: В России надо немедленно запретить репетиторов. И вот почему.
«…Однако надо признать, что система подготовки к ЕГЭ породила у нас разрыв между детьми из семей разного достатка. Чем больше школьника «натаскивать», тем выше у него потребность в репетиторах. А это — деньги. У состоятельных начинается гонка. Кто поскромнее, ищет варианты: онлайн-курсы, групповые занятия, на которых или «натаскивают», или нагоняют то, что в школе было пущено под нож в угоду «натаскиванию».
Лично я не раз слышала от родителей, что нужна унификация системы подготовки к самому ЕГЭ, которая дала бы равные возможности бедным и богатым. Площадка, типа «Учи.ру», которая бы предоставляла ребенку инструментарий для подготовки к техническим моментам ЕГЭ, позволяла бы ему самостоятельно разобраться и заниматься в свободное от других уроков время.
…Проблема неравенства на почве доступа к репетиторам растет. Боюсь, если ситуацию не менять, нам скоро потребуется китайский путь: курс на запрет репетиторства. Репетиторы уничтожают естественную конкуренцию и отбор лучших, нарушается процесс селекции умов, в лучшие вузы идут не только лучшие и умнейшие, самоорганизованные, способны к самообучению, но и те, кто с пяти лет учился на репетиторах.
В университете такой студент быстро скатывается, т.к. не может организовать процесс обучения и не располагает массой времени для зазубривания, как было с репетиторством. Отсев среди «репетированных» студентов выше, их баллы ниже, чем у отличников, которые учились в школе сами, однако не все такие отличники попали в университеты: их места заняли скрытые посредственности, которых смогли подготовить к экзаменам через репетиторство.
Ссылаюсь на опыт Китая, потому что там социальные и политические последствия репетиторства внимательно изучены. Даже выявлена его опасность для экономики и демографии.
Люди тратят деньги на репетиторов, а не вливают их в живую экономику. Родители в стрессе, траты на репетиторов угнетают их и тормозят демографию. Китай считает, что у него теперь проблемы с рождаемостью, да. И мешают ей в том числе репетиторы: люди не заводят второго ребенка, потому что придется отказаться от педагогов для первого.
Китай сказал «хватит», с 2021 года частные уроки запрещены. Промежуточные итоги оцениваются по-разному. Западные эксперты утверждают, что компартия Китая породила черный рынок репетиторства и привела к росту затрат на занятия. В самой Поднебесной утверждают, что черным рынком пользуются только сверхбогатые, которые и ранее не конкурировали с обычными семьями за доступ в вузы, так как получали образование вне конкуренции. Говорят, середнячкам жить стало проще, а результаты экзаменов теперь больше зависят от способностей ребенка, а не от кошелька его родителей.
У нас тоже началось репетиторское умопомрачение. С марта на улицах появляются поздно ходящие подростки — возвращаются от репетиторов. В подъезде у нас несколько учительниц и вузовских преподавателей, так у тех уже с Нового года поток вырос: двери только и хлопают. А что делать тем, кто не может оплачивать такую радость? Правильный ответ — учиться самостоятельно, а при отсутствии данных выбирать профессию по способностям.
Но ведь люди так не поступают, они из кожи вон лезут ради допзанятий. Думаю, появление реально работающих тренажеров ЕГЭ от составителей ЕГЭ, с пояснениями, видеоуроками, немного снизит нагрузку на семьи. А то у нас уже в норме брать кредиты на школьных репетиторов…»

Михаил Токовитин в подкасте Алексея Голубева:

А.Г.: Нас, скорее всего, будут смотреть молодые ребята до 20-ти лет или 20 с небольшим. Они пока выбирают, куда пойти учиться, и рассматривают варианты дополнительного образования.
Куда бы ты смотрел с точки зрения вот этого фундамента: чему учиться, какие направления и так далее?

М.Т.: Изучай максимальное, что тянешь. Можно, конечно, сказать: "Иди на мехмат или Физтех, изучай что-то фундаментальное. Квантовую физику, например". Но я не знаю, не все это тянут. Поэтому выбирай максимальное, что тянешь.
Если твоего серого вещества хватает, чтобы стать учёным, иди в науку. Потом можешь переиграть, бросишь, может займёшься условной криптой. Ничего страшного, хуже не будет.
Не тянешь науку – иди в инженеры. Не тянешь инженера – иди в ПТУ.

А.Г.: Есть ли какие-то направления, про которые ты понимаешь, что это деструктивно? Что если сейчас этому идти учиться, то ты точно окажешься на обочине?

М.Т.: Никогда не бывает деструктивного обучения.
Если ты берёшь в обучении максимальную свою высоту, это никогда не может быть вредно, потому что это тебя развивает, развивает твоё серое вещество, развивает твою способность формировать нейронные связи, развивает твой мозг. Ты просто качаешь эту мышцу. Это никогда не может быть вредно, если это для тебя предел твоих возможностей.
Если же ты выбираешь себе лёгкое что-то, например, ты мог бы стать физиком, а пошёл учиться на токаря (пусть токари не обижаются), тогда это вредно, потому что ты свой потенциал не раскрыл, ты себя не использовал, ты сделал себя слабее.
А если ты пошёл учиться, и у тебя болит голова по вечерам, а приходя домой ты себе говоришь: "Ё-моё, я всё это еле-еле тяну", то это не может быть вредно. Потому что ты просто пошёл тренироваться. Ты выйдешь через 5 лет, у тебя длинная жизнь впереди. Это точно тебе пригодится. Ты потом будешь щёлкать все остальные задачи, как орешки, и будешь думать: "Да на фоне вот этой вот жести, что там была, это ерунда, чем вы тут занимаетесь".
Невозможно сказать, что есть какое-то вредное обучение. Его не существует. Любое обучение полезно, даже самое идиотское.
Прикол в том, что даже если ты поставишь себе задачу наизусть выучить все вывески в Москве, это тоже будет полезно. Хотя бы потому, что ты адски прокачаешь память.

Из статьи В. П. Урлаповой «РКШ после обычной школы: особенности перехода»

«4. Имитация внимания.

Наблюдая за детьми на уроке, иногда можно заметить любопытное явление. Есть ученики, о которых уж точно не подумаешь, что они могут во время урока отвлекаться и размышлять о посторонних вещах. Они не вертятся, не разговаривают с соседями и не глядят по сторонам, а сосредоточенно смотрят на учителя, на наглядные материалы или в книгу, и по всему видно, что они внимательно следят за ходом урока. Но когда вы спрашиваете такого ученика, выясняется, что то, о чём шла речь несколько секунд назад, он просто-напросто пропустил мимо ушей.

Это явление мы назвали имитацией внимания. Интересно, что сам ребёнок не всегда понимает, что что-то не так, — он же сидит, слушает, ведёт себя хорошо, всё делает правильно, как полагается. По-видимому, это школьная приспособительная реакция, в природе которой нам ещё предстоит разобраться. Одно очевидно — эту странную привычку дети приносят из школ. Вместо того, чтобы учиться, дети делают вид, что учатся.

Возможно, имитация внимания появляется у тревожных школьников как способ мимикрировать, избежать «излишнего» персонального внимания учителя под маской видимого благополучия? Или просто как непроизвольная защита сознания от потока большого количества непонятной информации? Или же под влиянием предыдущего опыта у них сформировалась именно такая «внутренняя позиция школьника», и они с ней свыклись, сжились? В условиях, когда в учебных курсах нет цельности, темы меняются от урока к уроку без закрепления, а домашние задания без родителей выполнить невозможно, это вполне закономерно.»

Вчера мне написала коллега, с которой не виделся восемь лет, и я осознал, что ни в статьях в ВК, ни здесь в блоге я никогда не писал про свой опыт работы в проекте «Учитель для России».

Хотя знаю, что на группу подписано несколько преподавателей-выпускников этого проекта.

Сам я выпускник УДР второго года, и до сих пор с теплотой вспоминаю всех, с кем довелось в своё время поработать в Калуге.

Оказывается, коллеги ещё продолжают работать в образовании и сейчас развивают очные математические кружки в Приморье. Поэтому если кто-то из подписчиков хотел преподавать кружковую математику, но не в школе, то можете приглядеться к сети кружков «Квадрат».

Бонусом идёт то, что в качестве академического директора с ними активно сотрудничает сам Д.Э.Шноль. Думаю, постоянным читателям не нужно представлять, кто это (кстати, если не смотрели его недавний семинар про особенности преподавания математики в Узбекистане – горячо рекомендую).

Из лекции Рубанова И.С. «Листочки как формат работы на математическом кружке»:

«Но я хотел бы сразу предостеречь от того, чтобы брать чужие листки без изменений.

Дело в том, что истина конкретна. И даже у одного и того же учителя в разных кружках (и даже в одном и том же кружке, но в разное время) каждый раз складываются свои оригинальные условия.

Надо не просто брать листок и давать его детям, а надо готовиться именно к конкретному занятию в этой конкретной группе с этими конкретными детьми. А если это чужой листок, то обязательно делать его под себя.

Если преподаватель не горит тем, что в листке, то занятие будет не очень хорошим. Вы и сами прекрасно знаете, что дети очень тонко чувствуют это.

Я хочу вам прочитать отрывок из одной очень хорошей книжки. Это воспоминания о Борисе Заходере, который наверняка вам известен как переводчик Винни-Пуха и автор многих хороших детских стихов:
"Композиторы крайне редко пишут удачную музыку на подлинные стихи, а удачи тут ещё более редки. Все лучшие романсы Чайковского написаны на весьма посредственные стихи - хочется их назвать даже текстами; а если спуститься ниже – к песне, – то картина будет еще разительнее. И причина здесь не только в форме, не отвечающей требованиям. Подлинные стихи полностью выражают то, что лежит в их предмете. И (порой?) они, с одной стороны, не нуждаются в помощи искусства – музыки. А с другой – у композитора не пробуждается творческая фантазия, стремление заполнить пустоту, сгладить несовершенство, выразить предмет вполне."

Я уверен, что то же самое относится и к учителю, который готовится к занятиям.

Возможно, я очень высоко ставлю планку, но я говорю об одарённых детях. Конечно, к обычному уроку тяжело готовиться как к спектаклю, хотя бы в силу нагрузки.

Но если ты ведёшь кружок для души, то, когда ты берёшь чужой листок, ты его не можешь через свою душу пропустить полностью. Потому что там уже другой человек выразил себя, он уже под себя сделал конструкцию.

А для того, чтобы делать свой листок, надо иметь сырьё или листок, который очень хочется усовершенствовать. Вот из этого сырья, пропустив через себя, вы при удаче сможете сделать действительно хороший листок для своих занятий.»

Один из моих учеников сегодня поделился необычным мнемоническим правилом: "Все морские черепахи двигаются по кругу".

Хотя более известная его форма такая: "Все студенты изучают матанализ".

Коллеги, догадаетесь, что это за правило и как его использовать?

UPD: в комментариях почти сразу дали правильный ответ.
В англоязычной учебной литературе эти правила звучат так:
All Sea Turtles Circle
All Students Take Calculus
Иcпользуются они в связке с так называемой CAST-diagram для запоминания знаков тригонометрических функций.

По когтям узнают льва

Wild Mathing напомнил красивый альтернативный способ доказательства свойства равнобедренного треугольника.

«Треугольники ABC и ACB равны по двум сторонам и углу между ними. Опечаток нет: ABC и ACB. Значит, угол B равен углу C, что и требовалось доказать. Аналогично можно доказать признак равнобедренного треугольника (используя равенство двух углов и прилежащей стороны).»

Источник: один из первых уроков в вышеупомянутом курсе «Дополнительные главы геометрии. 7 класс»

Upd: подсказывают в комментариях, что именно таким способом это свойство доказывается в учебнике Погорелова.

На Сириус.Курсах вышел долгожданный курс "Дополнительные главы стереометрии. 10–11 классы. v1.0".

Спасибо составителям за такой роскошный подарок к Новому Году!

Как пройду его, обязательно поделюсь впечатлениями.

Заодно порекомендую их классический курс «Дополнительные главы геометрии» (7, 8, 9 классы), который считаю лучшим на платформе.