Математические байки

Но давайте вернёмся к степеням отображений окружности и к теореме Штурма — а то я до неё и в этот раз не доберусь.

Итак, у нас написан явно вещественный многочлен (для простоты, без кратных корней) — и мы хотим найти, сколько у него вещественных корней.

Если добавить к вещественной прямой бесконечно удалённую точку, то получается окружность. И многочлен (доопределённый бесконечностью в бесконечности) это непрерывное отображение такой окружности в себя. А корни это прообразы нуля, и очень бы хотелось применить как раз науку о степени.

Кстати, особенность, которая получается в проекции этой кривой — это касп. Тот самый касп, который мы пересекаем при первом преобразовании Рейдемейстера диаграммы узла: если в проекции узла есть петелька, и её "вытягиванием" убрать, то в тот момент, когда она вырождается, в одной из точек узла направление касательной совпадает с направлением проекции, и мы видим полукубическую "точку возврата":

(Рисунок из "Теории катастроф" В. И. Арнольда)

В их образе мы увидим как раз вот эту кривую — и у неё будет ещё "невидимая" компонента, которая при настоящем взгляде оказывается закрыта другой частью тора. И вот вторая картинка:

Так вот — эта картинка действительно более правильна с геометрической точки зрения. А именно — возьмём тор в R^3, и спроецируем его на "плоскость зрения" немного под углом. Отметим те его точки, где касательная к нему плоскость параллельна направлению проекцирования — иначе говоря, как раз критические точки проекции.

Чтобы картинка воспринималась, как тор, вырезаемую дырку нужно нарисовать двумя дугами — причём одну из них более длинной, а другую остановить при пересечении с первой:

Вторая же показывает, почему тор правильно рисовать так, как его рисуют. (До сих пор помню, как меня на первом курсе НМУ этому научили!)

Дело в том, что если нарисовать тор от руки как "эллипс, а внутри эллипс, изображающий дырку", то это будет восприниматься скорее как кольцо, чем как трёхмерный объект (и к тому есть причина):

(Рисунок из "Теории катастроф" В. И. Арнольда)

Продолжим?

Для начала — мне хотелось показать две картинки из "Теории катастроф" В.И. Арнольда. Первая — показывает складку при проекции сферы, и чуть более сложную особенность ("сборку") — но собственно эта особенность происходит над одной точкой (то есть над коразмерностью два) — а если какой-нибудь путь внизу не проходит прямо через неё (чего всегда можно добиться малым шевелением), то всё, что на этом пути мы встретим, будут только точки склейки. Вот она:

Сегодняшние мультфильмы от Миши Панова демонстрируют некоторые разрезания куба на равные многогранники. Попробуйте разрезать куб на 3 равных тетраэдра. А на 6? Кстати, в случае трёх частей можно не ограничиваться тетраэдрами: второй и третий мультфильмы показывают целое множество разрезаний на три равных многогранника.

И вторая часть тоже проверяется более-менее так же как и для окружности: соединить две точки p_1 и p_2 типичным путём и если надо, чуть-чуть пошевелить отображение f. Тогда при движении от p_1 к p_2 по типичному пути для типичной f всё, что нам может встретиться, это "вырождения коразмерности 1". А это только слияние двух прообразов с разным сохранением-изменением ориентации и их исчезновение (или, наоборот, рождение двух с разными знаками из ничего).

И вот это определение обобщается сразу на любую размерность. А именно: пусть у нас есть два ориентированных (ориентация уже выбрана) замкнутых (компактных без края) гладких многообразия M и N одной размерности, и гладкое отображение f:M\to N. Тогда степень deg f отображения f определяется так:
- берём точку p на N, у которой для каждого её прообраза x дифференциал df|_x (линейная часть f в точке x) невырожден.
- для каждого её прообраза пишем +1 или -1 в зависимости от того, сохраняет или меняет f рядом с ним ориентацию (иными словами, пишем sign det df|_x)
- складываем всё, что написано.

Опять же, нужна проверка корректности: что такая точка p есть, и что результат не зависит от её выбора. Первое делается аналогично тому, что мы делали на окружности, только с поправкой на многомерность, и называется леммой Сарда : множество критических значений (достаточно) гладкой функции имеет меру ноль.