Самая неожиданная связь в математике, которую я встречал это monstrous moonshine, она соединяет два мира, которые на первый взгляд не имеют ничего общего.
А именно, первый мир это мир групп. Есть понятие простой группы: та, у которой нет нетривиальных нормальных подгрупп <=> нетривиальных факторов, то есть попросту говоря она не является расширением никаких двух нетривиальных групп. Как описать все простые группы? Это, конечно, непосильная задача, но вот описать все конечные простые группы мы можем. А именно, есть несколько “регулярных” серий: циклические простого порядка, группа чётных перестановок A_n для больших n и группы типа Ли.
Но есть ещё конечный набор “спорадических” простых групп, которые не укладываются ни в какие серии, но почему-то существует, в частности есть самая большая спорадическая простая группа — группа Монстр.
Теперь второй мир: мир эллиптических кривых. Эллиптическая кривая над комплексными числами с топологической точки зрения просто тор. Но не простой тор, а который на самом деле представляется как фактор комплексной прямой по некоторой решётке и, более того, любую такую решётку можно преобразовать в решётку вида (1, t), где t лежит в верхней полуплоскости, и алгебраическая структура эллиптической кривой от этого не пострадает. Таким образом, точки верхней полуплоскости параметризуют эллиптические кривые. Каждой эллиптической кривой можно сопоставить некоторое число — j-инвариант этой кривой. Из того что я сказал выше этот j-инвариант можно рассматривать как функцию на верхней полуплоскости. Эта функция на самом деле мероморфная, а потому её можно разложить в ряд.
Как эти два мира соединяются? Ряд Лорана j-инварианта выглядит как 1/q+196884q+…, если внимательно посмотреть то коэффициент при q отличается от размерности минимального нетривиального неприводимого представления Монстра на 1! Оказывается, что остальные коэффициенты тоже некоторым разумным образом выражаются через размерности неприводимых представлений Монстра. Доказал чётко сформулированную связь между этими двумя мирами Ричард Борчердс в 1992 году, за что, в частности, получил Филдса. В доказательстве центральным понятием является понятие алгебры вершинных операторов (vertex operator algebra). Картинка в доказательстве довольно понятная — мб как-нибудь напишу про неё. Кстати, для остальных спорадических групп тоже есть некоторые мосты с модулярным миром, в частности для некоторых для них они уже построены, но не для всех.