Первый пункт легко увидеть, если мы живём над комплексными числами: если A групповой объект в категории связных, гладких, проективных многообразий над С, то соответствующее ему аналитическое многообразие A^an будет связной, компактной, комплексной группой Ли.
Чтоб доказать абелевость, нужно проверить что для любого элемента x отображение сопряжение f_x: A^an -> A^an постоянно. Действительно, сопряжение сохраняет единицу и поэтому индуцирует автоморфизм касательного пространства в единице, поэтому получается голоморфное отображение A^an -> Aut(T_e(A^an))=GL_n(C). Любое такое отображение постоянно по теореме Лиувилля, поскольку A^an компактно. Этого достаточно, чтоб заключить постоянность f_x.