G-расслоения играют важную роль в дифференциальной геометрии. Сегодня я узнал, что вложение точки в прямую в алгебраической геометрии это в некотором смысле G-расслоение.
WTF? — первый вопрос, приходящий в голову, ведь Spec(k) -> Spec(k[x]) даже не сюръективно! Причина в следующем: под G я имею в виду не алгебраическую группу, а когруппоид в категории производных k[x]-схем (aka анимированных k[x]-алгебр). Явно: G = k \otimes_k[x] k.
Как это можно увидеть? Функтор i: QCoh(k) -> QCoh(k[x]) комонадичен и комонаду легко посчитать: категория слева порождена объектом k относительно взятия копределов, поэтому комонада это просто i^* i_* k = k \otimes_k[x] k! Поэтому QCoh(k[x]) эквивалентна категории комодулей в k-векторных пространствах над нашей комонадой G. Я не проверял, что эти данные эквивалентны данным эквивариантности относительно естественного действия когруппоида, но я предполагаю, что это должно быть ок, а дальше должен быть какой-то a la Tannaka reconstruction result.