0) Достаточно показать, что в центре Z группы G элементов хотя бы >1/2 |G|. (поскольку центр это подгруппа)
1) Пусть S это подмножество в GxG, состоящее из всех коммутирующих пар (g, h), то есть [g, h]=e. Известно, что |S|>9/10 |G|^2
2) Элемент g \in G либо центральный, либо его централизатор содержит не больше половины элементов (централизатор тоже подгруппа). Таким образом, можно посчитать
|S|=|Z||G| + sum_Z^c C_G(g), где суммирование ведётся по Z^c=G-Z дополнению к центру. Равенство это очевидно из того, что фиксируя g и рассматривая все элементы в S вида (g, x) мы видим, что x пробегают ровно централизатор g.
3) Получаем |S|<=|Z||G|+(|G|-|Z|) 1/2|G|=1/2 |Z||G|+1/2|G|^2.
С другой стороны мы знаем, что |S|>9/10 |G|^2. Теперь если |Z|<1/2|G|+1, то
1/2 |Z||G|+1/2|G|^2 < 3/4|G|^2 + 1/2|G|, что, конечно, не может быть больше 9/10|G|^2, если в G хотя бы 4 элемента.
Отсюда видно, что если G достаточно большая, то 90% можно заменить на ~75%.

Интересно, как далеко это от оптимальной оценки?