В дифференциальной геометрии ключевое понятие это метрика на многообразии. Когда метрика хорошая — дифференциальным геометрам тоже хорошо. Один класс хороших метрик — метрики Кэлера-Эйнштейна. Кэлеровость значит согласованность метрики с комплексной структурой, а Эйнштейновость значит, что тензор Ричи пропорционален самой метрике (я плохо понимаю смысл этого, но мб кто-нибудь объяснит в комментариях, если я пойму как их включить).
Фундаментальный вопрос: когда на многообразии существует метрика Кэлера-Эйнштейна? Для “неположительных” многообразий ответ: всегда. “Неположительное” значит, что канонический класс (первый класс Черна кокасательного расслоения) отрицательный или нулевой.
Случай, когда первый класс Черна нулевой, это частный случай гипотезы Калаби, которую одолел Яу, за которую он получил Филдса.
В положительном случае (то есть в случае многообразий Фано), ответ: не всегда.
Оказывается, что такой дифференциально-геометрический вопрос тесно связан с алгебро-геометрическим понятием K-стабильности. А именно, для каждого многообразия Фано можно построить некоторый численный инвариант, который называется инвариант Футаки и вот многообразие называется K-полистабильным если этот инвариант неотрицательный. Строится этот инвариант чисто алгебро-геометрически. Чудесным образом оказывается, что многообразие допускает метрику Кэлера-Эйнштейна iff оно К-полистабильно.
Ещё это понятие К-полистабильности замечательно следующим. Вообще говоря, нет пространства модулей которое параметризует все многообразия Фано. Например, гиперповерхности заданные уравнением
t(x^3+y^3+z^3)+w^3=0 являются многообразиями Фано если t>0, но если t=0, то это тройная гиперплоскость и она не является Фано. А вот пространство модулей К-полистабильных многообразий Фано существует и оно проективное многообразие!