На пути к п-адической теории Ходжа.

Один из центральных сюжетов в комплексной геометрии это разложение Ходжа. Морально оно о том, что для компактных Кэлеровых многообразий есть прямая связь между их топологией и комплексной структурой. А именно: сингулярные когомологии (чисто топологическая вещь) раскладываются в прямую сумму Ходжевых когомологий (вещь, зависящая от гладкой структуры). Например, из этого разложения моментально следует такой факт, демонстрирующий прямую связь между топологией и гладкой структурой: на односвязном компактном Кэлеровом многообразии нет глобально определённых голоморфных форм.

Как часто происходит в математике, утверждения из одной области мотивируют вопросы в других областях. Так, это разложение провоцирует нас задать много интересных вопросов.
1) что происходит для особых многообразий? (Теория Делиня о смешанных структурах Ходжа)
2) чем заменить сингулярные когомологии для многообразий над произвольными полями? (Теория этальных когомологий Гротендика)
3) как сформулировать это утверждение для многообразий над произвольными полями и верно ли оно там? (Теория Делиня-Иллюзи о вырождении спектральной последовательности Ходжа-де Рама)
4) в стандартной картинке нет разницы между когомологиями де Рама и сингулярными. Так ли это для этальных? (Теория Фонтена колец периодов: сравнение де Рама, кристальное)