А сьогоднішньою теоремою дня є теорема Банаха про нерухому точку 🥰:
https://www.theoremoftheday.org/Analysis/ContractionMapping/TotDContraction.pdf

Цей результат, отриманий Стефаном Банахом у 1922 році, є класичною теоремою про існування та єдиність нерухомої точки в достатньо хороших відображень (стискаючих) на достатньо хороших просторах (повних МП). 🤓

Зауважимо, що властивість метричного простору "кожне стискаюче відображення має нерухому точку" ще не означає його повноту (див. Theorem 1.2 у роботі: https://www.ams.org/journals/proc/2009-137-09/S0002-9939-09-09904-3/S0002-9939-09-09904-3.pdf).

Проте, дивовижним чином має місце наступне "обернене" твердження (Bessaga’s Converse Theorem, 1959):

Нехай f:X->X - це відображення множини Х у себе таке, що кожна його ітерація f^{n}:X->X має єдину нерухому точку. Тоді для кожної константи qє(0,1) існує метрика d на Х така, що МП (X,d) повний і f - стискаюче відображення з константою q на (X,d).

Див. статтю: http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/cm/cm7/cm7110.pdf