Долго думал, что может быть новогоднего или хотя бы зимнего в математике, и ничего удачнее фрактальной снежинки не пришло в голову. Это наверное один из простейших математических фракталов, про который сейчас рассказывают даже ребятам в начальной школе. Строится он следующим образом.
В качестве исходной заготовки используем равносторонний треугольник. Далее рассмотрим любую сторону:
1. Поделим отрезок на три части:
_ _ _
2. На центральной части, как на стороне, возведём равносторонний треугольник, а основание сотрём:_/\_
3. В итоге у нас получится четыре новых отрезка из исходной стороны, с каждым из которых мы проделаем операции 1-2 снова и снова.В пределе получится кривая Коха. Вырастив данный «кристалл» на оставшихся сторонах заготовки, получим искомую снежинку.
Примечательно, что полученная фигура имеет бесконечный периметр, но конечную площадь. Граница снежинки настолько сложна, что имеет бесконечную длину между любыми двумя точками, как бы близко вы их не старались выбрать. Таким образом, получилось нечто более богатое, чем линейный объект (размерности 1), но беднее объектов плоских (размерности 2). Математики такие объекты характеризуют размерностью дробной, но об этом постараемся рассказать в новом году.
Нашу новогоднюю задачку я придумал сам, так как найти по теме что-то занятное не получилось. Сам придумал – сам решил. Показалось просто. Однако в процессе оформления осознал, что решил задачу неправильно. Более того, возникшая сложность мне кажется непреодолимой для аналитического решения. Буду благодарен сообществу за правильное решение, а пока, сможете ли вы найти изъян в моём? Как говорится в одном известном меме с Ди Каприо «we need to go deeper», поэтому сегодняшняя задача – это решение.
С наступающим Новым годом, добра и счастья вам и вашим близким 🎄
И огромное спасибо за то, что остаётесь с нами 💛
• Заяц на снежинке Коха
• Софизм