Геометрия на решётке для гриля

Рассмотрим важный класс геометрических задач, своего рода «целочисленную геометрию». Объекты на целочисленных решётках изучаются даже в теории вероятностей. Например, случайные блуждания с их разносторонними практическими применениями.

Целочисленной решёткой Z² называется множество точек декартовой плоскости с целыми координатами. Бывает удобным представлять себе целочисленную решётку как бесконечный лист клетчатой бумаги. Многоугольник считается расположенным на Z², если все его вершины являются точками (узлами) этой решётки.

Площадь S многоугольника, расположенного на решётке, считается по простой формуле S=I+E/2-1, где I – количество узлов строго внутри многоугольника, E – на его границе, включая вершины. Эта формула названа в честь австрийского математика Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Для доказательства формулы Пика во всей её полноте, придётся иметь дело с так называемыми примитивными треугольниками. Будем есть слона по частям или, как сказал бы Боб Дилан: «I can’t eat all that stuff in a single bite». Примитивные треугольники сравнимы с глыбами, которые каменотёс обрабатывает лишь тремя ударами резца, создавая тем самым заготовки для более изысканных произведений искусства.

#олимпиады #геометрия

Примитивные треугольники (#111)