Скопирую из ФБ свой пост пятилетней давности.
Может, кому-то пригодится.

=================================
Кто о чем, а я о "противных" доказательствах
Не помню, писал ли я уже об этом когда-то, но точно много обдумывал. В чем "фишка" доказательств от противного и почему ими следует пользоваться как в обучении математике, так и в собственно математике? Этого почти никто толком не понимает, потому что в школе этого не объясняют, а потом умные люди уже не занимаются такими благоглупостями.
Пусть нам нужно доказать утверждение "A ⇒ B".
Вероятно, вам кажется, что если его доказывать от противного, то это означает необходимость доказать утверждение "¬B ⇒ ¬A" (¬ означает "не"). А вот и нет-с!
Когда вы _правильно_ используете метод доказательства от противного, то у вас есть не одно условие A, а два разных: A и ¬B. И вот из двух условий вместе (математики зовут это конъюнкцией, но можно и не знать мудрёных слов, тем более что это самый обычный союз И) вам нужно... а что вам, собственно, нужно? А нужно всего лишь прийти к противоречию. Любому противоречию, не важно, в каком месте и с чем именно!
Понимаете? Раньше вам нужно было (непонятно, как именно) проложить ниточку рассуждений от того, которое было дано, к тому, которое надо было доказать. Это могла быть достаточно длинная ниточка, а вы держитесь за один конец клубка, и совершенно непонятно, как его разматывать, чтобы он вас привёл куда надо. А "противное" сразу позволяет опереться на два разных хвоста и мотать их совместно. Сплошь и рядом это оказывается удобнее и быстрее, потому что на двух опорах стоять проще, чем на одной. И главное - у вас нет цели нечто конкретное доказать, ваша цель намного проще: обнаружить противоречие. То есть вы просто последовательно строите шаг за шагом всё, что следует из ваших двух условий, взятых вместе, до тех пор, пока не увидите, что пришли к чему-то невозможному, несовместимому либо друг с другом, либо с еще чем-то ранее известным.
PS. Лобачевский именно так и создал свою геометрию. Да и Эйнштейн, вроде бы, решился постулировать постоянство скорости света относительно любого наблюдателя только после того, как в конце концов не смог вывести никакого противоречия.