🕳️🕳️💛🥹boost!!! #math

Неравенство Коши‌-Буняковского-Шварца говорит о том, что для любых последовательностей чисел a1, a2, ..., an и b1, b2, ..., bn выполняется (a1b1+...+anbn)²≤(a1²+...+an²)×(b1²+...+bn²). Равенство достигается, когда последовательности пропорциональны.

Вывести неравенство можно, взяв два произвольных вектора на плоскости — а' и b' (вектор будет обозначаться как ').

Скалярное произведение данных векторов не превосходит произведения их длин: |a'×b'|≤|a'|×|b'| (т.к. a'×b'=|a'|×|b'|×cosα, где α — угол между векторами и т.к. |cosα| ≤ 1).

Теперь нужно записать неравенство в координатах, будем считать i' и j' единичными базисными векторами, направленными вдоль координатных осей (i для x и j для y).

Запишем отдельно для двух векторов:
a'=a1×i'+a2×j'
b'=b1×i'+b2×j'

Запишем длины векторов через координаты:
|a'|=√(a1²+a2²)
|b'|=√(b1²+b2²)

Запишем скалярное произведение через координаты:
a'×b'=a1×b1+a2×b2

Вспомним про изначальное неравенство — |a'×b'|≤|a'|×|b'| и подставим полученные значения => |a1×b1+a2×b2|≤√(a1²+a2²) × √(b1²+b2²).

Если возвести в квадрат оба выражения(справа и слева), то получим неравенство КБШ в искомом виде для двух векторов в двумерном пространстве(x и y). При этом слева исчезнет модуль. Аналогично для n-мерного пространства: (a1b1+...+anbn)²≤(a1²+...+an²)×(b1²+...+bn²).

Чтобы понять, будет ли данное неравенство применимо, следует проверить, а существует ли скалярное произведение каких-либо двух объектов в данной задаче.

Из данного неравенство выходит множество следствий, например: неравенство треугольника, критерий коллинеарности, неравенство между средними выражений и другие. А также частный случай КБШ – лемма Титу (по сути, это дробная форма КБШ).