🔴🥹И так, я, ваш доверенный корреспондент, узнала, почему Котоко так сильно ненавидит преступников. На самом деле, просто никто из них не знает теоремы косинусов и синусов. PT.1

🌸🌸🎀if u wanna boost...🥹#math

Сегодня мы рассмотрим только теорему косинусов(для углов, не равных 90°), во второй части будет теорема синусов.

🥹 Формулировка и доказательство теоремы косинусов.

Для начала вспомним теорему Пифагора:

🎀в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:
🤩🤩a² + b² = с², где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Сама теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Ойй, как трудно... Давайте лучше посмотрим на формулу?

a² = b² + c² - 2bc×cos α

Представим треугольник ABC, где вершины расположены так:
🌸🌸🥹Вершина А расположена на самом верху треугольника, еë угол обозначен как α(альфа)
🌸🌸🥹Вершина B расположена справа, еë угол обозначен как β(бета)
🌸🌸🥹Вершина С расположена слева.
🌸🌸🥹В треугольнике ABC есть отрезки AB(обозначена как c), AC(обозначена как b) и BC(обозначена как a)

🥹 В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

BC² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²

🥹BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек(все фото с координатами будут выставлены в комментариях). У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈* (0° ; 180°).
🥹*∈ - принадлежит

cos²α + sin²α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC² = a² = (b cos α - c)² + b²sin²α = b²cos²α + b²sin²α - 2bc cos α + c² = b²(cos²α + sin²α) - 2bc cos α + c²

Мда... Выглядит очень страшно. Но почему всë именно так? Почему нельзя разложить...как-то иначе?
🥹

Если говорить кратко, здесь происходят три шага:

1. Раскрытие скобок: выражение (b cos α - c)² раскладывается по формуле квадрата разности на b² cos² α - 2bc cosα + c².
Формула, если кто забыл: (a-b)²=a²-2ab+b²
2. Группировка: слагаемые с общим множителем b² собираются вместе — b²(cos² α + sin² α).
3. Упрощение: по основному тригонометрическому тождеству скобка превращается в 1.

🥹 Зачем нам всë это?

Нууу... С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

cos α = b²+c²-a² / 2bc ,
🌸🌸 где a, b и c - стороны.

Вроде, это всë...

💥🌸🌸🌟🌟
🌸🌸Ай-Ай! Котоко очень сильно разозлилась! Но что я могла забыть...

Ах, точно!

🌸🥹Когда b² + c² - a² > 0, угол α будет острым (от 1° до 89°).
🌸🥹Когда b² + c² - a² = 0, угол α будет прямым(90°).
🌸🥹Когда b² + c² - a² < 0, угол α будет тупым(от 91° до 179°, легкое напоминание: 180° - это развернутый угол).

Теперь Котоко... 🌟🌟
🌸🌸🌸🌸🌸не злится.

Значит, по теме, которую мы разобрали сегодня, сказано всë! Вы можете проверить полученные знания в комментариях~