Сегодня вспоминаем стереометрию! Объёмы многогранников и тел вращения.
ФИПИ говорит:
задание верно выполняют больше 60% участников. Ошибки связаны с неверным установлением отношений площадей и объёмов, а также с плохим пространственным воображением.
Почти 20% участников в задачах с конусом и цилиндром путают, во сколько раз отличаются площади боковых поверхностей. Почти 10% неверно сравнивают площадь сферы и площадь полной поверхности цилиндра.
Вывод: нужно чётко знать формулы и понимать, как части фигуры соотносятся с целым. Сегодня это нарабатываем.
🟩АЛГОРИТМ ДЛЯ ВСЕХ ЗАДАЧ ЭТОГО ТИПА
Шаг 1. Найди объём всей фигуры (призмы или параллелепипеда).
Шаг 2. Определи, какую часть составляет многогранник от целого.
Шаг 3. Если часть не очевидна — найди объём оставшейся части и вычти из целого.
Замечание: многогранник с вершинами в углах часто равен 1/2, 1/3 или 1/6 от целого.
🟩ПРОТОТИП 1. ОБЪЁМ ЧАСТИ ПРИЗМЫ
Пример 1. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Площадь основания равна 6, боковое ребро равно 9. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1.
Решение.
Полный объём призмы: V = Sосн · h = 6 · 9 = 54.
Многогранник A, B, C, A1 — это пирамида с основанием ABC и вершиной A1.
Объём пирамиды: V = (1/3) · Sосн · h = (1/3) · 6 · 9 = 18.Ответ: 18
Пример 2. Та же призма. Найдите объём многогранника с вершинами A, C, A1, B1, C1.
Решение.
Здесь многогранник - это часть призмы. Можно заметить, что можно найти как разность полного объёма и объёма оставшейся части из предыдущего примера.
Ответ: 32.
🟩ПРОТОТИП 2. ОБЪЁМ ЧАСТИ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Пример. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 7, BC = 6, AA1 = 5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1.
Решение.
Полный объём параллелепипеда: V = 7 · 6 · 5 = 210.
Многогранник A, B, C, A1, B1, C1 — это половина параллелепипеда (отсекается диагональным сечением). Его объём = 210/2 = 105
Ответ: 105