ФИПИ говорит:
задание проверяет умение оперировать понятиями: треугольник, сумма углов, внешний угол, синус, косинус, биссектриса, медиана. Типичные ошибки связаны с неверным применением тригонометрических формул и путаницей в свойствах углов.
Сегодня разбираем три прототипа: сумма углов, прямоугольный треугольник (sin/cos), угол между биссектрисой и медианой.
🟩ПРОТОТИП 1. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА И ВНЕШНИЙ УГОЛ
Теория. Сумма углов треугольника равна 180°. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Пример.
В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107°. Найдите угол C.
Решение.
Внешний угол при вершине B равен сумме углов A и C.
107° = ∠A + ∠C.
Так как AC = BC, треугольник равнобедренный. Углы при основании AB равны: ∠A = ∠B.
∠B = 180° − 107° = 73° (смежный с внешним).
Тогда ∠A = 73°.
73° + 73° + ∠C = 180°.
∠C = 180° − 146° = 34°.
Ответ: 34°
🟩ПРОТОТИП 2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. СИНУС И КОСИНУС
Теория. В прямоугольном треугольнике:
cos A = прилежащий катет / гипотенуза
sin A = противолежащий катет / гипотенуза
Пример 1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, BC = √19. Найдите cos A.
Решение.
cos A = AC / AB.
Найдём AC по теореме Пифагора: AC = √(AB² − BC²) = √(100 − 19) = √81 = 9.
cos A = 9/10 = 0,9.
Ответ: 0,9
Пример 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, AC = √51. Найдите sin A.
Решение.
sin A = BC / AB.
Найдём BC: BC = √(AB² − AC²) = √(100 − 51) = √49 = 7.
sin A = 7/10 = 0,7.
Ответ: 0,7
🟩ПРОТОТИП 3. УГОЛ МЕЖДУ БИССЕКТРИСОЙ И МЕДИАНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Теория. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Биссектриса делит угол пополам.
Пример. Острый угол B прямоугольного треугольника равен 21°. Найдите величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C.
Решение.
Угол C = 90°. Угол B = 21°. Тогда угол A = 180° − 90° − 21° = 69°.
Биссектриса CD делит угол C пополам: ∠BCD = 45°.
Медиана CM в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, поэтому треугольник CMB равнобедренный. ∠B = 21°, значит ∠MCB = 21°.
Угол между биссектрисой и медианой: ∠MCD = ∠BCD − ∠MCB = 45° − 21° = 24°.
Ответ: 24°
Еще прототипы в видео!