Сегодня разберём метод, который в учебниках стыдливо называют «графиком суммы модулей», а все нормальные люди - КОРЫТОМ. Потому что оно и есть корыто. Узнаваемое, удобное и очень мощное.
Зачем это нужно? Когда в задаче с параметром вылазит нечто вида |x-a| + |x-b| = c, многие руки опускаются. А зря.
Перейдем к делу.
Постройте график функции
f(x) = |x+1| + |x-3|.
Здесь каждый модуль живет своей жизнью и меняет знак в своей особой точке. Берем метод критических точек - наш рабочий, хоть и немного нудный, инструмент.
Шаг 1. Находим точки, где модули обнуляются. Это x = -1 и x = 3. Это наши критические точки, то есть места, где график будет «ломаться».
Шаг 2. Они разбивают ось X на три промежутка: x < -1, -1 ≤ x ≤ 3, x > 3.
Шаг 3. Раскрываем модули на каждом промежутке, как в методе интервалов.
✨На промежутке x < -1: оба выражения под модулем отрицательны. Раскрываем оба с минусом.
|x+1| = -(x+1) = -x-1
|x-3| = -(x-3) = -x+3
В сумме получаем: f(x) = (-x-1) + (-x+3) = -2x + 2.
✨На промежутке -1 ≤ x ≤ 3: первое выражение неотрицательное, второе — неположительное.
|x+1| = x+1
|x-3| = -(x-3) = -x+3
В сумме: f(x) = (x+1) + (-x+3) = 4.
✨На промежутке x > 3: оба выражения положительны, модули просто убираем.
f(x) = (x+1) + (x-3) = 2x - 2.
В итоге мы собрали нашу функцию по кусочкам:
{ -2x + 2, при x < -1
f(x) = { 4, при -1 ≤ x ≤ 3
{ 2x - 2, при x > 3
Что это за график? Слева - убывающая прямая (y = -2x+2). В центре - горизонтальный отрезок (y = 4) от x = -1 до x = 3. Справа - возрастающая прямая (y = 2x-2). Эта ломаная, симметричная относительно середины отрезка между -1 и 3, и есть наше знаменитое КОРЫТО.
✔️ Теперь главный момент: зачем мы это сделали?
«При каких c уравнение |x+1| + |x-3| = c имеет 2 корня? Бесконечно много? Не имеет корней?»
Мы уже проделали основную работу. Слева в уравнении у нас готовое корыто - график y = |x+1|+|x-3|. Справа - просто горизонтальная прямая y = c. Вся задача свелась к тому, на какой высоте мы будем «подрезать» наше корыто этой прямой.
▫️Если c меньше 4, прямая проходит ниже дна корыта -> пересечений нет. Корней: 0.
▫️Если c равно 4, прямая проходит точно по дну корыта -> пересечение целый отрезок. Корней: бесконечно много.
▫️Если c больше 4, прямая пересекает два борта корыта -> корней ровно два.
Никакого нового раскрытия модулей. Один раз разобрали сложную функцию на простые линейные куски, увидели в ней корыто, и теперь оно - ваш инструмент. С ним можно и нужно работать.
Этот метод пригодится нам для решения 18 задания, другие способы решения мы будем разбирать на моём курсе 90+. Записывайся!
Подписаться | Мой ТТ | Все полезные материалы