Почему ½ не заканчивается

Основание φ иррационально, но натуральные числа в этой системе могут иметь конечные записи:
2 = 10,01ᵩ,
3 = 100,01ᵩ,
4 = 101,01ᵩ.
А что будет с самым обычным рациональным числом ½?
Оказывается, оно не имеет конечной записи цифрами 0 и 1.
Причина довольно неожиданная.
Из φ² = φ + 1
следует
φ⁻¹ = φ − 1.
Поэтому любая целая степень φ имеет вид a+bφ,
где a и b — целые числа.
Значит, любая конечная запись в основании φ тоже имеет такой вид.
Но φ иррационально. Если число a+bφ рационально, то b = 0. А тогда оно просто целое.
Отсюда следует: если рациональное число имеет конечную запись в основании φ с цифрами 0 и 1, то оно обязательно целое.
Поэтому ½ записывается бесконечно:
½ = 0,010010010010…ᵩ,
то есть блок 010 повторяется бесконечно.
Единицы стоят при степенях
φ⁻², φ⁻⁵, φ⁻⁸, …
Поэтому значение записи равно
φ⁻² + φ⁻⁵ + φ⁻⁸ + … .
Это геометрическая прогрессия:
φ⁻²/(1−φ⁻³).
Но из φ³ = 2φ + 1
получаем
1 − φ⁻³ = 2φ⁻².
Следовательно,
φ⁻²/(1−φ⁻³) = ½.
В десятичной системе мы привыкли к другому:
дробь ½ = 0,5 заканчивается,
а ⅓ = 0,333… является периодической.
В основании φ граница проходит иначе: уже ½ не имеет конечной записи, зато его стандартная запись оказывается периодической.
Иррациональное основание позволяет целым числам заканчиваться, а простейшую дробь заставляет повторяться бесконечно.