1 + 1

В привычной позиционной системе веса разрядов равны
1, b, b², b³, …
Но основание b вовсе не обязано быть целым.
Возьмём золотое сечение
φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618.
Будем использовать только цифры 0 и 1, а разрядам приписывать веса
…, φ⁻², φ⁻¹, 1, φ, φ², φ³, …
Получается система счисления с основанием φ.
Главное свойство золотого сечения:
φ² = φ + 1.
Поэтому две записи — 11ᵩ и 100ᵩ — обозначают одно и то же число:
φ + 1 = φ².
То есть здесь сразу возникает необычный «перенос»:
011 → 100.
Он очень напоминает фибоначчиеву систему, где два соседних веса тоже заменяются следующим:
Fₙ + Fₙ₊₁ = Fₙ₊₂.
Связь не случайна:
φ² = φ + 1,
φ³ = 2φ + 1,
φ⁴ = 3φ + 2,
φ⁵ = 5φ + 3, …
Коэффициентами здесь снова становятся числа Фибоначчи.
Но есть ещё более странный эффект.
Чему равно 1+1?
Запись 10ᵩ означает просто φ, а 11ᵩ — φ+1=φ². Ни то ни другое не равно 2.
Используем равенство φ² = φ+1.
Из него следует φ⁻² = 2−φ.
Поэтому 2 = φ + φ⁻².
Значит, 2 = 10,01ᵩ.
Так в системе с иррациональным основанием обычное целое число неожиданно получает цифры после запятой.
Арифметика продолжает работать:
3 = φ² + φ⁻²,
Поэтому 3 = 100,01ᵩ.
А  4 = φ² + 1 + φ⁻²,
то есть 4 = 101,01ᵩ.
Из-за равенства 011ᵩ = 100ᵩ
запись, вообще говоря, не единственна. Поэтому, как и в фибоначчиевой системе, для натуральных чисел запрет соседних единиц выделяет единственную стандартную запись.
В системе Цекендорфа разрядными весами были
1, 2, 3, 5, 8, …
а перенос определялся рекуррентным соотношением Фибоначчи.
Теперь разрядные веса —
…, φ⁻², φ⁻¹, 1, φ, φ², …
но то же соотношение уже заключено в самом основании:
φ² = φ+1.
То, что в фибоначчиевой системе задавалось рекуррентным правилом разрядов, здесь выполняется автоматически из алгебраического свойства самого основания.