Арифметика Фибоначчи

В обычной позиционной системе перенос устроен одинаково во всех разрядах:
10 единиц превращаются в 1 десяток.
В фибоначчиевой системе единого основания нет: веса разрядов не являются степенями одного числа. Вместо степеней одного числа используются веса
1, 2, 3, 5, 8, 13, …
а каноническая запись не содержит двух соседних чисел Фибоначчи.
Поэтому и переносы здесь другие.
Главное правило следует прямо из определения последовательности:
Fₙ + Fₙ₊₁ = Fₙ₊₂.
То есть два соседних веса можно заменить следующим:
3 + 5 = 8,
5 + 8 = 13
и так далее.
Посмотрим, как сложить
7 = 5 + 2  и  4 = 3 + 1.
Сначала просто складываем:
7 + 4 = 5 + 3 + 2 + 1.
Но такая запись не каноническая: соседние числа Фибоначчи встречаются сразу несколько раз.
Сначала 3 + 2 = 5,
поэтому
5 + 3 + 2 + 1 = 5 + 5 + 1.
Теперь возникли два одинаковых веса.
Для них есть другое правило. Из соотношений Фибоначчи следует
2Fₙ = Fₙ₊₁ + Fₙ₋₂.
Например, 5 + 5 = 8 + 2.
Получаем
5 + 5 + 1 = 8 + 2 + 1.
Но 2 + 1 = 3,
поэтому окончательно
7 + 4 = 8 + 3 = 11.
Это уже запись Цекендорфа: два использованных числа Фибоначчи не соседние.
Получается необычная арифметика. Один тип переноса идёт к старшему разряду:
3 + 5 → 8,
а при появлении двух одинаковых весов перенос может одновременно затронуть разряды по обе стороны:
5 + 5 → 8 + 2.
Поэтому сложение здесь — это не просто движение переносов справа налево, как в десятичной системе. Сначала коэффициенты складываются, а затем запись нормализуется с помощью тождеств для чисел Фибоначчи.
И результат нормализации единственный — это следует из теоремы Цекендорфа.
В фибоначчиевой системе арифметика определяется не основанием, а рекуррентным законом самих разрядов.