Бесконечная скорость

Появление бесконечности в физической модели часто служит сигналом: мы дошли до границы, за которой прежнее описание уже недостаточно.
Хороший пример даёт геометрическая оптика. Свет в ней представляют лучами. Лучи могут сходиться и образовывать каустику — например, знакомую яркую кривую на дне чашки или бассейна.
Если буквально продолжать лучевую модель, в некоторых точках плотность лучей становится бесконечной, а вместе с ней должна стать бесконечной и интенсивность света.
В реальности этого, конечно, не происходит. Просто именно здесь перестаёт работать приближение «свет — это лучи»: становится существенной его волновая природа, и дифракция сглаживает математическую бесконечность.
В газовой динамике потеря гладкости возникает уже в самих уравнениях движения.
Уравнения Эйлера описывают сжимаемый газ без вязкости. Представим плавную волну сжатия. Разные её участки распространяются с разными скоростями, поэтому более быстрые части могут догонять более медленные. Профиль волны становится всё круче.
В момент образования ударной волны производные скорости, давления и плотности становятся неограниченными, хотя сами величины остаются конечными. Затем гладкое решение уже нельзя продолжить в прежнем смысле: возникает скачок, который описывают как слабое решение.
Но у настоящего газа есть вязкость и теплопроводность. Если их учесть, идеальный скачок превращается в очень тонкий, но гладкий переходный слой.
Вязкость сглаживает эту сингулярность.
И отсюда возникает естественный вопрос: может ли вязкость вообще гарантировать, что гладкость решения никогда не разрушится?
Для трёхмерных уравнений Навье–Стокса
∂u/∂t + (u·∇)u = −∇p + νΔu + f, div u = 0
ответа на этот вопрос не было почти сто лет.
Вопрос о том, обязано ли гладкое решение этой системы оставаться гладким при всех временах, входит в список семи задач тысячелетия Института Клэя.
Причём здесь ситуация ещё строже, чем с ударной волной.
Рассматривается несжимаемая жидкость: условие div u = 0 означает сохранение объёма, а плотность считается постоянной, поэтому скачок уплотнения возникнуть в принципе не может.
И жидкость вязкая. Член νΔu стремится сглаживать различия скоростей.
Но рядом с ним стоит нелинейный член (u·∇)u: скорость сама переносит поле скорости. В трёхмерном течении связанная с ним динамика позволяет вихревым линиям растягиваться. Из-за несжимаемости вытягивание вихревой трубки сопровождается её поперечным сжатием, а вращение может усиливаться.
8 сентября OpenAI опубликовала доказательство, согласно которому даже при наличии вязкости такое течение может прийти к сингулярности. В построенном решении первоначально покоящаяся жидкость приводится в движение специально устроенной гладкой внешней силой. Вихревая структура спирально стягивается во всё меньшую область и одновременно вытягивается вдоль оси, а скорость в ней растёт и за конечное время становится неограниченной.
При этом коэффициент вязкости остаётся положительным, внешняя сила — гладкой, а полная кинетическая энергия — конечной.
Это уже не ударная волна.
Там невязкая модель допускает потерю гладкости и образование скачка, а вязкость превращает его в гладкий слой.
Здесь вязкость присутствует с самого начала — и всё же не предотвращает образование сингулярности.
Физически бесконечной скорости быть не может. Значит, реальная жидкость должна раньше выйти за пределы предположений модели. При достаточно больших скоростях станет существенной сжимаемость. При достаточно малых масштабах перестанет работать и представление жидкости как сплошной среды: придётся учитывать молекулярное строение вещества.
И в этом отличие от истории Ньютона и Максвелла. Границу ньютоновской механики обнаружила другая теория. Здесь внешняя теория для этого не понадобилась.
Если опубликованное доказательство подтвердится, получится, что уравнения Навье–Стокса сами привели своё решение к границе, за которой уже перестают быть физически адекватной моделью.