Почему троичная система оптимальна

Мы сравнили двоичную и сбалансированную троичную системы и увидели, что троичная при том же числе «физических элементов» позволяет кодировать больше состояний. После этого почти неизбежно возникает вопрос: а можно ли пойти ещё дальше? Что будет, если разрешить каждому элементу не два и не три, а k различных состояний?
Рассмотрим простую абстрактную модель. Пусть у нас есть n одинаковых элементов, каждый из которых может находиться в k устойчивых состояниях. Тогда общее число возможных конфигураций равно kⁿ. Ровно столько различных состояний или чисел такая система способна различать.
Но здесь важно учитывать не только количество состояний, но и цену, которую мы за них платим. Чем больше различных значений должен надёжно различать один элемент, тем сложнее физически реализовать и стабилизировать такую систему. Поэтому естественно смотреть не на kⁿ само по себе, а на то, насколько быстро растёт число состояний в пересчёте на один элемент. Эта величина равна k¹ᐟᵏ.
И вот здесь появляется неожиданно красивый факт. Если рассмотреть функцию f(k) = k¹ᐟᵏ для вещественных k > 0, то она достигает максимума при k = e ≈ 2,718 — основании натурального логарифма. Это можно проверить обычным дифференцированием.
Среди целых значений k максимум величины k¹ᐟᵏ достигается при k = 3. То есть система, в которой каждый элемент имеет три состояния, оказывается информационно оптимальной.
Именно поэтому в задачах с гирями переход от двух состояний к трём даёт столь сильный эффект. В двоичной модели каждая гиря даёт 2 состояния, и n гирь покрывают 2ⁿ значений. В сбалансированной троичной каждая гиря даёт 3 состояния, и n гирь покрывают 3ⁿ значений. Этот выигрыш связан не просто с заменой числа 2 на 3, а с тем, что именно 3 — оптимальное целое основание.
При дальнейшем увеличении k число состояний одного элемента продолжает расти, но относительный выигрыш уменьшается. Система становится всё более сложной, а дополнительная информационная отдача — всё менее заметной.
С этой точки зрения выбор основания системы счисления — это всегда баланс между плотностью кодирования и физической реализуемостью. Двоичная система оказалась удобнее для массовой техники, потому что её проще реализовать и стабилизировать. Троичная — привлекательнее с информационной точки зрения, но более требовательна к физической реализации. Различие между ними — не в «правильности», а в том, какой компромисс выбран.