Задача об SL_2 = E_2

Для любого кольца R можно построить 2 матричные группы:
1. SL_N(R) -- состоит из всех матриц с det(R) = 1;
2. E_N(R) -- подгруппа SL_N(R) порожденная всеми элементарными матрицами, то есть такими что на диагонали 1, и все остальные коэффициенты 0 кроме максимум одного.

Автоматически можно задаваться вопросом, правда ли E_N(R) = SL_N(R)? Для алгебраических нужд естественной областью применения этого вопроса выступает семейство колец R = A[x_1^±1, ... x_n^±1, y_1, ..., y_m]. Суслин доказал такой сильный положительный результат: SL_N(R) = E_N(R) если N ≥ max{3, dim A + 2}. В частности, если A = k -- некоторое поле, то SL_N(R) = E_N(R) для N ≥ 3. Случай N = 2 не покрывается теоремой Суслина и он нетривиален. Дальше для нас A = k -- любое поле. Конн предъявил матрицу (см. картинку 1) в SL_2(k[x, y]), которая не принадлежит E_2(k[x, y]). Из этого автоматически следует что для n ≥ 2 и любого m справедливо SL_2(R) ≠ E_2(R). Дальше, в работах Wright, Bachmuth-Mochizuki, Chu, Park активно исследовались остальные комбинации (n, m). Они покрыли все кейсы кроме (n, m) = (0, 2). То есть на состояние лета 2026 полный прогресс по задаче SL_2(R) = E_2(R) можно было сформулировать так:

Теорема (Cohn, Wright, Bachmuth-Mochizuki, Chu, Park). Пусть (n, m) ≠ (0, 2), тогда SL_2(R) ≠ E_2(R).

Всё это я узнал из прекрасной лекции https://www.youtube.com/watch?v=AqBZGQ24e0k&list=PLZcDZmpzBORHwTzgQsnGWTZ4IEB9B0yS0&index=5 Анастасии Константиновны Ставровой. В ней же Анастасия Константиновна показывала довольно элементарный способ (т.н. критерий Парка) увидеть, что матрица Кона не принадлежит E_2(k[x, y]). Итак остался единственный открытый кейс: R = k[x^±1, y^±1].

Посмотрев это видео в июне я воспринял его как естественную площадку для того чтобы протестировать ЛЛМ-ки в математике: может быть, получится найти похожий элементарный критерий для принадлежности E_2(k[x^±1, y^±1]). В итоге, с Васей получилось доказать (см https://arxiv.org/pdf/2609.04275) что если k это поле дробей некоторого discrete valuation ring, то E_2(R) ≠ SL_2(R). Прогресс шел примерно таким образом.

1. 11 июня я смотрю видос с описанием задачи и решаю что надо ей заняться для k = F_2;
2. Пытаюсь использовать клод как машину для вычислений, чтобы угадать какой-нибудь обобщенный критерий Парка -- насемплировать как можно больше матриц из E_2(R) и увидеть, есть ли в них какая-то закономерность схожего толка с критерием Парка;
3. Примерно к июлю становится понятно, что критерия схожей формы не существует. Я придумываю простенькую меру сложности на матрицах из SL_2(R) и начинаю для себя считать, для каких r можно вычислительно доказать что "все матрицы сложности ≤ r из SL_2 на самом деле лежат в E_2". Для r = 10 получается, для r = 11 находятся первые примеры матриц про которые не удается на компьютере доказать принадлежность E_2; однако доказательства того что какая-то из них не лежит в E_2 не видно
4. я делюсь этой задачей с Васей Иониным и он с чатгпт 5.6 sol находит правильный подход к этой задаче. Если рассматривать её не над полем F_2, а над полем частных DVR'a, то существует структурная теорема Серра, которая предоставляет разложение SL_2 в амальгамированное произведение двух подгрупп. И в неопубликованной работе Абраменко https://arxiv.org/abs/0808.1095 уже рассматривался ровно такой же контекст! Вместе с леммками про то как E_2 взаимодействует с этим разложением в амальгамированное произведение!

Итог такой:
1. для, например, k = ℚ мы строим много примеров матриц из SL_2 \ E_2 (см. картинку 3)!
2. оказывается, что из работы Абраменко уже следовало (хоть и неконструктивно) что SL_2 ≠ E_2 в этом случае. Но это никто не заметил!
3. Если формально подставить в нашу матрицу π = 1, то получается матрица, отличающаяся от матрицы Кона на автоморфизм (это ничего не доказывает)!



Еще предстоит придумать доказательство для k который не fraction field of a DVR.