Математические парадоксы — это лучшая «разминка для ума» без учебников и примеров. C помощью них учимся:
🌟не верить своей интуиции с первого раза;
🌟проверять, перепроверять и удивляться;
🌟получать удовольствие от того, что мозг щёлкает задачку.
1. Парадокс дней рождения
В классе 25 человек. Как вы думаете, какова вероятность, что у двоих совпадают день и месяц рождения?
Обычно люди отвечают: ну где-то 5–10%. А правильный ответ — больше 50% 🤯
А для 30 человек — уже 70%. А достигается 50% на 23 людях (в нашей задачке даже был запас😉).
▶️Как так выходит? Потому что сравниваются не 25 дней с одним днём, а все пары между всеми учениками. Пар очень много. Подробней о нем
Проверьте у себя в классе:)
2. Парадокс «два конверта»
Вам и еще одному человеку дают два конверта с деньгами. В одном вдвое больше, чем в другом. Вы выбираете конверт, открываете — там 1000 рублей. Меняться ли вам на второй конверт?
Рассуждение: в другом конверте может быть 500 рублей (потеря 500) или 2000 рублей (выигрыш 1000). В среднем выигрыш больше, чем проигрыш. Значит, надо меняться!
…Но и вашему соседу выгодно поменяться, а все-таки у кого-то из вас сумма больше и должно быть невыгодно. Как же так получается?
▶️Интригует, неправда ли?) Подробней о нем на википедии
3. Парадокс мальчика и девочки
У семьи двое детей. Один из них — мальчик. Какова вероятность, что второй ребёнок — тоже мальчик?
Интуиция говорит: ½ (50%). Но правильный ответ — ⅓ (примерно 33%).
Почему? Потому что возможные комбинации: ММ, МД, ДМ. Из них «один из них мальчик» подходит для трёх вариантов, но только в одном оба мальчика.
▶️А если уточнить: «мальчика зовут Паша» — вероятность уже ½. Магия условия.
Подробней об этом на википедии
Это задача, родившая у Мартина Гарднера, также рекомендуем для младших школьников его книги. Они актуальны и интересны
4. Парадокс лжеца (упрощённо)
Представьте, кто-то говорит: "Я сейчас вру". Так он говорит правду или врёт?
Если он говорит правду — значит, он не врёт, но он сказал, что врёт. Противоречие.
Если он врёт — значит, он на самом деле говорит правду. Опять противоречие.
▶️ Шутка, взрывающая мозг даже у взрослых. Детям можно объяснить как игру: «Это предложение нельзя сделать истинным или ложным — поэтому его называют парадоксом».
Подробней о нем на википедии
5. Парадокс брадобрея (или парадокс Рассела)
В одной деревне живёт брадобрей. Он бреет только тех жителей, которые не бреются сами. Бреет ли брадобрей сам себя?
Давайте разбираться.
Если он бреет себя — значит, он относится к тем, кто бреется сам. Но по условию он бреет только тех, кто не бреется сам. Противоречие.
Если он не бреет себя — значит, он относится к тем, кто не бреется сам. Но тогда по условию он должен брить самого себя. Снова противоречие.
▶️Вы наверное заметили, что парадоксы 4 и 5 похожи?
Это не случайность, оба они были придуманы известным математиков Бертраном Расселом, чтобы показать дыру в наивной теории множеств. Это подняло важную проблему об аксиомах в теории множеств в начале 20 века и сильно повлияло на математику.
Подробней об этом всем на википедии
Но детям можно объяснить как шутку-головоломку: «Попробуй представить такого брадобрея — и сразу увидишь, что так не бывает».:)
📌 Кстати если вам нравится тема- рекомендуем книгу на картинке