Я влюбился в геометрическую алгебру

2026 год начался во многом с подтягивания математики. То ли на фоне наступления ИИ-шки меня потянуло на фундаментальные знания, то ли в преддверии моего скорого перехода на движок*, но так или иначе уже пару месяцев как очередное обострение.

Они у меня случаются периодически, но в основном я долблюсь в какую-нибудь из балдёжных физик (кванты, космология, СТО/ОТО), ни одной из которых у меня не было в универе, но разобраться очень хочется. В случае с квантами долблюсь обычно не очень успешно, потому что местами не хватает математической подготовки.

Один из очевидных пробелов — абстрактная алгебра, который я стал закрывать книгой Чарльза Пинтера. Я, конечно, пока не добрался до алгебр Ли, но дико кайфанул от первой половины книги: теории групп и немножко колец. Интересно, что я учусь вместе с чатомЖПТ, задавая ему вопросы по непоняткам. На типовые вопросы он отвечает прям хорошо: таблицы Кэли рисует, находит подгруппы, факторизует. На более экзотических структурах (лупы, моноиды) люто галлюцинирует, но по основному материалу с таким помощником учиться одно удовольствие. Хз, как будет выглядеть высшее образование через 10 лет, потому что уже даже для тупых вопросов препод-человек не особо нужен.

***

Но хватит уже про абстрактную алгебру. Она классная, но не главная в этом посте. Этот пост — признание в любви геометрической алгебре. Моё первое знакомство с ней началось с интерактивной статьи про роторы: Let's remove Quaternions from every 3D Engine. И я не перестаю пиарить её при каждом удобном случае. Серьёзно, почитайте, если ещё не видели — это прям eye-opening.

Во многом эта статья вдохновила меня на написание моей статьи про матрицы. Я её, кажется, так и не показывал здесь? Несмотря на то, что я потратил кучу времени на интерактивные иллюстрации и даже выступил с этим докладам на внутренней конфе парадокса, я так и не доделал текстовую версию. Но презентация доступна. Посмотрите что ли. Зря что ли делал?

Но в этом году я решил более серьёзно разобраться с геометрической алгеброй по книжке МакДональда. И сказать, что я очарован, это ничего не сказать: она не только сводит dot и cross к одной операции, не только объясняет повороты без привлечения 4D, но и обобщает в целом комплексные числа и кватернионы. Совершенно казалось бы разные вещи из разных разделов математики внезапно сводятся к одному и тому же и выводятся буквально из одной операции. Просто катарсис. Геометрическая алгебра — ты моя Валентинка ❤️

Многие спросят, если она такая крутая, то чё её никто не использует? Почему ни в одном движке её нет? А дело в том, что классическую линейную алгебру тупо знает больше народа. Она появилась гораздо раньше и входит в стандартный университетский курс. Линейная алгебра давно и прочно занимает одно из самых центральных мест в математике (наряду с матанализом), на её языке работает половина науки от квантовой физики до экономики.

Геометрическая алгебра, напротив, появилась сравнительно недавно, и это по сути другой язык. И на нём не так уж много материалов для начинающих. Обычно статьи с применением геометрической алгебры уже предполагают, что вы знаете предмет в терминах линейки. Но как же всё становится проще и осмысленнее в геоме. Одним словом, КРАСОТИЩА.

И да, я знаю, что это всего лишь алгребра Клифорда, и очарование потом у многих проходит. Но, чёрт возьми, дайте насладиться влюблённостью, я в своей геометрической фазе.

***

Разумеется, я ещё по мелочи затыкал более мелкие дыры всякими ютуб-плейлистами на разные темы. Из наиболее существенного: я наконец-то разобрался с дуальным пространством (для этого пришлось немного залезть в тензоры). А ещё было приятно найти видос у 3Brown1Blue, объясняющую формулу эйлера ровно тем же способом, как я её себе объяснял в древнем посте.

* — ну и да, если в апреле сдадим крупный майлстоун, то я на годик по обмену схожу в команду движка. А там дальше видно будет.