Одна из широко известных задач, с которой знакомятся на математических кружках, такая:

Из шахматной доски 8×8 вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли оставшуюся часть замостить костями домино размером 1×2?

Здесь нам помогает шахматная раскраска. Заметим, что любая доминошка всегда накрывает ровно одну белую и одну черную клетку. И если бы нам удалось замостить какую-либо часть доски доминошками, то белых и чёрных клеток у этой части должно быть поровну. В исходной доске их поровну, но затем мы вырезали две клетки одного цвета, нарушив баланс белых и чёрных клеток. Значит, замостить оставшуюся часть нельзя!

Однако менее известно естественное продолжение этой задачи: Из шахматной доски произвольным образом вырезали одну белую и одну чёрную клетку. Докажите, что оставшуюся часть доски всегда можно замостить костями домино размером 1×2.

Как бы вы решали эту задачу? Всего возможных вариантов довольно много. Чёрную клетку можно выбрать 32 способами, белую тоже. Итого, 32•32=1024 способа. Неужели нужно перебирать их все или есть способ проще😁?
#УтренняяРазминка #Комбинаторика