Ответ: дневник.

А жаль, что я с детства не вел дневника ―
Ведь вы ни за что не поймете,
Как я потерял своего двойника,
Когда, на каком повороте.

[Н. Н. Моршен. Раздвоиники : «А жаль, что я с детства не вел дневника…» (1979)] 

Но закрутилось колесо,
срывая все одежды ―
Повсюду ― легионы двойников,
Их не найти нет никакой надежды,
Зарывшись в легионы дневников.

[Е. А. Шварц. Распродажа библиотеки историка : «Вот тот нагой, что там в углу сидит…» (1974)] 

Не забывая строгих правил,
Мой чисто вымытый двойник
В свой перепачканный дневник
Две кляксы новые поставил
И, промокнув их наконец,
Сосет запретный леденец.

[В. Л. Корвин-Пиотровский. Золотой песок : «Ты помнишь ли, мой Кирик милый…» (1920-1966)]

Прощай, дневник, двойник души чужой,
забытый кем-то в дубненской гостинице.

[А. А. Вознесенский. «Прощай, дневник, двойник души чужой…»
[Оза, 13] (03.1964)] 

Удел на диво мне сужден судьбой ―
себя повсюду видеть за собой.
Мои бесчисленные двойники ―
давно исписанные дневники ―
всю ночь за мной вослед обочь, окрест
и передразнивают каждый жест.

[С. В. Петров. «Удел на диво мне сужден судьбой…» (1961)] 

Но мой внимательный двойник
В свой обличающий дневник
Записывает все прилежно.

[В. А. Злобин. «Не спрашивай — я все забыл…» (1940-1959)] 

И тех же самых мыслей столкновенья,
и ту же боль и трепет становленья,
как в собственном жестоком дневнике,
я видел в этом странном двойнике.

[Е. А. Евтушенко. «Сквер величаво листья осыпал…» (1958)]
 
Конечно, я не утверждаю, что это самая частая рифма к слову "двойник", но она действительно частая. И дело тут, видимо, в том, что дневник сам по себе принадлежит теме двойничества, потому что человек, ведущий его, создаёт персонажа, который как бы является его "я", но все равно не может быть полностью этим самым "я".