چرا مفهوم گروه (Group) اصلاً به وجود آمد؟!

چرا گروه‌های اتومورفیسم (Automorphism Groups) تا این حد مهم هستند؟!

مفهوم گروه، و در نتیجه صورت‌بندی اصول موضوعه آن، در ابتدا از این مشاهده پدید آمد که مجموعه‌هایی از تبدیلات وارون‌پذیر (invertible) که ساختار یک شیء هندسی یا جبری را حفظ می‌کنند، همگی از یک الگوی انتزاعی مشترک پیروی می‌کنند. علاوه بر این، مشخص شد که بسیاری از ویژگی‌های جالب آن اشیای ریاضی، در ساختار گروه اتومورفیسم متناظر با آن‌ها نهفته است.

به عنوان نمونه‌ای از این تبدیلات در هندسه اقلیدسی، دوران و انتقال فاصله‌ها را حفظ می‌کنند. در جبر خطی، یک تبدیل خطی وارون‌پذیر ساختار فضای برداری را حفظ می‌کند. و در نظریه گروه‌ها، یک اتومورفیسم ضرب گروه را حفظ می‌کند.

ریاضیدان‌ها متوجه شدند که این مجموعهٔ تبدیلات، هر جا که باشند، چهار خاصیت مشترک دارند: عمل ترکیب دارند. ترکیب شرکت‌پذیر است. همانی دارند. هر عضو معکوس دارد. و این یعنی دقیقاً یک گروه تشکیل می‌دهند. پس مفهوم گروه از بررسی تقارن‌ها و تبدیلات به وجود آمد.

ما اگر فقط گروه اتومورفیسم یک شیء را بدانیم، معمولاً اطلاعات بسیار زیادی دربارهٔ خود آن شیء به دست می‌آوریم. به عبارت دیگر،
به جای مطالعهٔ خود شیء، می‌توان گروه تقارن‌های آن را مطالعه کرد.

مثلا اگر یک مربع را در نظر بگیرید و فقط گروه تقارن‌های آن را بدانید (یعنی گروه دیهدرال)، متوجه می‌شوید که چهار رأس، چهار ضلع، چهار دوران و چهار بازتاب دارد. پس بخش بزرگی از هندسهٔ مربع در گروه تقارن‌هایش رمزگذاری شده است.

یا مثلا در نظریه گالوا اگر برای یک میدان، گروه اتومورفیسم‌های آن میدان را بدانیم می‌توانیم اطلاعات بسیار زیادی درباره معادلات چندجمله‌ای به دست آوریم. در واقع تقریباً تمام اطلاعات مربوط به حل‌پذیری معادلات در گروه اتومورفیسم میدان نهفته است.

در نتیجه برای شناخت یک شیء، گاهی بهتر است به جای مطالعهٔ خود آن، تقارن‌ها و اتومورفیسم‌هایش را مطالعه کنیم. به همین دلیل در شاخه‌های مختلف ریاضیات با گروه‌هایی مانند گروه اتومورفیسم، گروه ایزومتری، گروه دیفئومورفیسم، گروه نگاشت‌های همریخت و گروه‌های لی سروکار داریم. این گروه‌ها اطلاعات عمیقی درباره خود اشیای ریاضی در اختیار ما می‌گذارند.
@harmoniclib