پیام ارسالی :

نکته جالب‌تر اینه که برخی از نتایج اصل انتخاب با این اصل معادل هستند.

مثلا قضیه تیخونوف که یکی از قضایای مهم در توپولوژی هست با اصل انتخاب معادل هست.

یعنی میتونیم جای اصل انتخاب توی اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها از قضیه تیخونوف استفاده کنیم.

همینطور این گزاره که "هر فضای برداری دارای پایه هست" نیز با اصل انتخاب معادله هست.

یا این گزاره مهم در جبر که "هر حلقه جابجایی یکدار دارای ایده‌آل ماکسیمال است" نیز با اصل انتخاب معادل هست.

ولی در مورد قضیه هان باناخ فکر کنم معادل نیست با اصل انتخاب.
یه قضیه دیگه مثل اینکه تو آنالیزتابعی داریم به نام قضیه کرین-میلمن که تو اثبات اون هم از اصل انتخاب استفاده میشه.

یادمه یه جا خوندم که قضیه کرین-میلمن با یه شرط خاص به همراه قضیه هان باناخ، اصل انتخاب رو نتیجه میدن.

اثبات این که قضیه تیخونوف ، اصل انتخاب را نتیجه می ده
👇👇👇👇👇👇

یکی از صورت‌‌های معادل اصل انتخاب رو ثابت میکنیم.

این صورت معادلش که میگه "حاصلضرب خانواده دلخواه از مجموعه‌های ناتهی، ناتهی است."

فرض کنیم {Xj} یک خانواده دلخواه از مجموعه‌های ناتهی باشه.
میخواهیم ثابت کنیم که
Π Xj
هم ناتهی هست.

برای اینکار یه عنصر مجزا مثل * در نظر میگیریم که تو هیچکدوم از Xj ها نیست.

قرار بدید:
Yj = Xj U {*}

روی Yj توپولوژی به صورت زیر تعریف میکنیم.
τj={ Φ , Xj , {*} , Yj }

با این توپولوژی همه Yj ها فشرده میشن پس طبق قضیه تیخونوف حاصلضرب‌شون هم فشرده است.
فرض کنیم Y حاصلضرب Yj ها باشه و

πj : Y----->Yj

نگاشت افکنش باشه.(که میدونیم پیوسته است)

اگر Uj رو بگیریم تصویر معکوس {*} تحت πj، اونوقت Uj بازه.(به خاطر پیوستگی πj و باز بودن {*} در Yj)

حالا میتونیم بگیم که هیچ تعداد متناهی از Uj ها Y رو نمیپوشونه.
چون اگر مثلا Ui1,Ui2,...,Uik فضای Y رو بپوشونند اونوقت کافیه یه عنصر تو Y به اینصورت بگیرید که مولفه‌های i1,i2,...,ik رو چیزی به جز * انتخاب کنیم.(توجه کنید که اینجا از اصل انتخاب استفاده نمیکنیم چون از تعداد متناهی مجموعه داریم انتخاب میکنیم)
بقیه مولفه‌ها رو هم * بذاریم.
این عضو تو اجتماع Ui1,Ui2,...,Uik ها نیست.

پس هیچ تعداد متناهی از Uj ها نمیتونه Y رو بپوشونه.
چون Y فشرده بود پس نتیجه میگیریم که کل Uj ها یک پوشش باز برای Y نیستند.
یعنی عضو y در
Y \ U Uj
ها وجود داره.

با توجه به تعریف Uj ها مشخصه که هیچکدوم از مولفه‌های عضو y برابر * نیست.
پس y عضوی از
ΠXj
هست.
@harmoniclib