داستان جفت پرکو (Perko Pair)

این دو گره در نگاه اول کاملاً متفاوت به نظر می‌رسند، اما اگر بدون بریدن طناب و فقط با خم کردن و جابه‌جا کردن آن (حرکت‌های رایدمایستر)، شکل را تغییر دهید، یکی دقیقاً به دیگری تبدیل می‌شود. از دیدگاه توپولوژی، این دو هم‌ارز (Ambient Isotopic) هستند و یک گره محسوب می‌شوند.

اینجا یکی از معروف‌ترین داستان‌های تاریخ نظریه گره‌ها (Knot Theory) را بررسی می‌کنیم. داستانی که نشان می‌دهد حتی یک اشتباه می‌تواند باعث پیشرفت بزرگ علم شود.

در سال ۱۸۸۵، ریاضیدان انگلیسی C. N. Little فهرستی از گره‌ها را تهیه کرد. او دو گره را با شماره‌های مختلف به عنوان دو گره متفاوت ثبت کرد. در آن زمان هیچ‌کس متوجه نشد که این دو در واقع یک گره واحد هستند که فقط به شکل متفاوتی رسم شده‌اند.

اما حدود ۹۰ سال بعد، در سال ۱۹۷۴، شخصی به نام کن پرکو (Ken Perko) که وکیل دادگستری بود نه ریاضیدان حرفه‌ای، هنگام مطالعه جدول گره‌ها متوجه شد که این دو گره با انجام تعدادی حرکت رایدمایستر (Reidemeister Moves) دقیقاً به یکدیگر تبدیل می‌شوند. از آن زمان این دو شکل را Perko Pair می‌نامند.

اهمیت این موضوع در این است که تقریباً یک قرن، همه تصور می‌کردند این دو گره متفاوت‌اند. بنابراین ریاضیدانان تلاش زیادی کردند تا ناورداهای گره‌ای (Knot Invariants) پیدا کنند که بتواند این دو را از هم تشخیص دهد. اما هر بار شکست می‌خوردند، چون اساساً این دو یک گره بودند و هیچ ناوردایی نمی‌توانست بین آن‌ها تفاوتی ایجاد کند.

هرچند این تلاش‌ها برای تفکیک این دو گره بی‌نتیجه بود، اما باعث توسعه شاخه‌های مهمی از نظریه گره‌ها شد؛ از جمله:

مطالعه ناورداهای گره
چندجمله‌ای الکساندر (Alexander Polynomial)
چندجمله‌ای جونز (Jones Polynomial)
مطالعه پیوندها (Links)
روش‌های طبقه‌بندی گره‌ها

این داستان امروزه یکی از مثال‌های کلاسیک در توپولوژی است و نشان می‌دهد که تشخیص برابری دو گره تنها از روی ظاهر آن‌ها می‌تواند بسیار دشوار باشد.
@harmoniclib