مقاله تحقیقی در زمینه آنالیز ریاضی:

چرا باید آنالیز ریاضی بخوانیم؟


اول از همه باید بدانیم آنالیز ریاضی اصولا چیست؟
آنالیز ریاضی نام عمومی آن بخش‌هایی از ریاضیات است که با مفاهیم حد و همگرایی مربوط اند و در آن‌ها موضوعاتی مثل پیوستگی و انتگرال گیری و مشتق پذیری و توابع غیر جبری بررسی می‌شود. این موضوعات را معمولاً در عرصه اعداد حقیقی یا اعداد مختلط و توابع مربوط به آن‌ها بحث می‌کنند ولی می‌توان آنها را در هر فضائی از موجودات ریاضی که در آن مفهوم "نزدیکی" (فضای توپولوژیک) یا "فاصله" (فضای متریک) وجود دارد به‌کار برد. آنالیز ریاضی از کوشش‌های مربوط به دقیق کردن مبانی و تعریف‌های حسابان سر برآورده است.


ارتباط تنگاتنگ آنالیز با حساب دیفرانسیل و انتگرال یا همان ریاضیات عمومی یا حسابان：
حساب دیفرانسیل و انتگرال
یا calculus که غالبا در نام ریاضیات عمومی تدریس میشود،
به طور ساده یعنی حاصلی ساده تر از انالیز.
اگر بخواهم به زبان ریاضی بگویم
یعنی حسابان زیرمجموعه ای از انالیز است و انالیز مفاهیم پیشرفته تری دارد.
در حسابان بیشتر تمرکز بر کاربرد ریاضی به خصوص در مهندسی است برای همین است که انالیز درسی در رشته ریاضی و ریاضی محض و علوم کامپیوتر است که بیشتر با جنبه نظری ریاضی ارتباط دارند.

حالا چرا مطالعه ی آنالیز مهم است؟ تعدادی از دانشمندان و ریاضی دانان تحقیق های خود را انجام داده اند و نتایج و اثبات قضایا را بدست آورده اند. چه لزومی دارد که ما بخواهیم فراتر از حسابان را مطالعه کنیم و اثبات جز به جز قضایا را بررسی کنیم؟
این پدیده مانند مهندسی معکوس است که با بررسی ساختار یک وسیله سعی در فهمیدن شیوه ساخت آن را دارند.
برای پیشبرد علم ریاضی و بدست آوردن قضایای جدید،نیاز مند هستیم که اثبات قضایای گذشته و نحوه کار با آن ها را یاد بگیریم و بهتر است از حفظ فقط صورت قضیه زیرا بدین ترتیب میتوانیم از پایه ریاضیات را درک کنیم.
به قول آقای آدامز در کتاب حسابان خود، "ریاضیات یک نظام خطی است، ایده به ایده ساخته می شود."
برای همین لازم است درک درستی از بنا و اصول ریاضیات داشته باشیم تا وارد مطالب جدید تر این دنیا شویم و به ساخت و پیشبرد ریاضی ادامه دهیم.همانطور که یک برنامه نویس برای شروع کار خود از نوشتن برنامه های ابتدایی مثل
Hello World
شروع میکند.

ریاضی‌دانان به دنبال الگوهایی هستند که بتوان از آن‌ها استفاده کرده و حدس‌های جدید را به‌صورت فرمول درآورد؛ آن‌ها درستی یا نادرستی حدس‌ها را با اثبات ریاضیاتی نشان می‌دهند. هرگاه ساختارهای ریاضی مدل‌های خوبی از پدیده‌های جهان واقعی باشند، استدلال ریاضی می‌تواند پیش‌بینی‌هایی برای طبعیت ارائه کند. علم ریاضیات با استفاده از تجرید و منطق از مفاهیمی چون شمردن، محاسبه و اندازه‌گیری و مطالعهٔ نظام‌مند اشکال و حرکات اشیای فیزیکی به‌وجود آمد. ریاضیات کاربردی از زمانی که انسان نوشتن را آموخت، به‌عنوان فعالیتی بشری وجود داشته‌است. تحقیقات مورد نیاز برای حل مسائل ریاضی ممکن است سال‌ها یا حتی قرن‌ها طول بکشد.

استدلال‌های استوار ابتدا در ریاضیات یونان باستان ظاهر شدند؛ به‌خصوص در اثر عناصر اقلیدس. از زمان کارهای تحقیقاتی جوزپه پئانو (۱۸۵۸–۱۹۳۲)، دیوید هیلبرت (۱۸۶۲–۱۹۴۳) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعه‌ای در پایان قرن نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آن‌ها حقایق را با استدلال استوار از مجموعهٔ منتخبی از اصول موضوعی و تعاریف به‌ دست می‌آورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان رنسانس سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی که نوآوری‌های ریاضیاتی با کشفیات علمی برهم‌کنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت و تا به امروز نیز ادامه دارد.

ریاضیات در بسیاری از زمینه‌ها مثل علوم طبیعی، مهندسی، پزشکی، اقتصاد و علوم اجتماعی یک علم ضروری است. شاخه‌های کاملاً جدیدی در ریاضیات به‌وجود آمده‌اند؛ مثل نظریهٔ بازی‌ها. ریاضی‌دانان در ریاضیات محض (مطالعهٔ ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر رازهای خود آن) بدون اینکه هیچ‌گونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات می‌پردازند؛ در حالی که کاربردهای عملی یافته‌های آن‌ها معمولاً بعدها کشف می‌شود.
@harmoniclib