Задача чуть сложнее https://t.me/geometrykanal/2077

Красная окружность касается двух сторон треугольника и описанной окружности. Требуется доказать, что середина отрезка между точками касания красной окружности и стороны - центр вписанной окружности.

Доказательство:
Красная - единичная с центром в (0, 0), общая точка касания красной и описанной - (-1, 0), параметризуем D(2p/(1+p^2), (1-p^2)/(1+p^2)), E(2q/(1+q^2), (1-q^2)/(1+q^2))

Далее последовательно считаем:
Координаты точки A как пересечения касательных к красной в точках D и E

Уравнение описанной окружности (через фокус1 и координаты A)

Координаты точки B(фокус2, A и D)

Координаты точки C(фокус2, A и E)

Координаты точки F (середина отрезка DE)

Расстояние от F до AB (по симметрии совпадает с расстоянием от F до AC) (точнее, квадрат расстояния)

Квадрат расстояния от F до BC

Убеждаемся в тождестве, доказано.

Код в комментариях