Продолжение. Простая и классическая "Лемма Архимеда"
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C#%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D0%B0

Если окружность вписана в сегмент окружности, стягиваемый хордой BC, и касается дуги в точке A, а хорды — в точке K, то прямая AK является биссектрисой угла BAC

Доказательство:
полагаем вписанную окружность единичной с центром в начале координат, точке A соответствуют координаты (0, -1), точке K - координаты (2p/(1+p^2), (1-p^2)/(1+p^2)). Длину отрезка KB полагаем равным q, координаты B восстанавливаются по сумме вектора K и вектора, перпендикулярного K, умноженного на q. После этого восстанавливаем координаты центра внешней окружности (фокус1), после - координаты точки C (фокус 2).
Осталось проверить свойство биссектрисы AB/BK = AC/CK (точнее, проверяем (AB/BK)^2 = (AC/CK)^2). Коротко и симпатично. Код в комментариях