Для затравочки - три задачи разной степени простоты, общего - две касающиеся окружности и приём, которым их можно раздробить:

полагаем одну из окружностей единичной и с центром в нуле, общую точку касания помещаем в (-1, 0), параметризуем две точки рациональными функциями двух переменных (например, точка на окружности параметризуется одной переменной способом (2p/(1+p^2), (1-p^2)/(1+p^2)), далее выражаем координаты точек, уравнения прямых и так далее через рациональные функции от этих двух переменных, пока не получаем требуемое утверждение как тождество рациональных функций).

Естественно, использую python/sympy, руками считать лень и незачем.

Фокусы:
1. окружность с уравнением x^2 + (y-h)^2 = (h+1)^2 проходит через точку (x0, y0), x0 != 0. h восстанавливается однозначно как рациональная функция от x0, y0

2. Точка (x0, y0) лежит на окружности С с центром в (0, h), прямая l проходит через (x0, y0) и (x1, y1). Вторую точку пересечения l и С можно выразить как рациональную функцию от x0, y0, x1,y1, h (тривиально через параметрическое уравнение l)

3. точка пересечения двух прямых - рациональная функция от коэффициентов прямых (тривиальное)

Файл с фокус-функциями - в комментариях