☆
#پاسخ پارادوکس تاریخ تولد
t.me/FarazTed/14851

بگذارید از یک مثال ساده شروع کنیم.
مطابق تصویر ذیل پنج خانه خالی به شما داده شده و از شما خواسته می‌شویم هر یک را با یکی از ارقام صفر تا ۹ پرکنید.
به چند حالت می‌توانید اینکار را انجام دهید؟
خانه اول ۱۰ گزینه خانه دوم ۱۰ گزینه خانه سوم ...
پس ۱۰× ۱۰×۱۰×۱۰ ×۱۰ حالت انتخاب ممکن برای شما وجود دارد.
A=10^5 = 100000
اما اگر با شما شرط بگذارند که عدد هیچ خانه‌ای نباید با سایر خانه‌ها یکی باشد چه؟
آنگاه برای خانه اول ۱۰ انتخاب دارید اما برای خانه دوم یک رقم از انتخابهای مجاز شما کم می‌شود‌. پس ۹ انتخاب دارید. خانه سوم ۸ انتخاب و ... پس کل انتخابهای شما خواهد بود.
B = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30240

پس اگر بخواهید ارقام را بصورت تصادفی در خانه‌ها قرار دهید چقدر احتمال وقوع حالتهای B نسبت به کل حالتهای ممکن A وجود دارد؟
B/A = 30240 / 100000
= 0.3024 = 30.24%
یعنی ۳۰٪ احتمال دارد که چینش تصادفی شما منجر به آن شود که ارقام پنج خانه با هم متفاوت باشند.
پس چند درصد ممکن است که چنین نباشد.
100% - 30% = 70%
پس تقریبا در ۷۰٪ مواقع ممکن است که حداقل دو خانه با یکدیگر مشابه باشند.

اگر این مثال را دریافتید مابقی کار ، حل مساله با پارامترها است.
اگر m گزینه برای n خانه وجود داشته باشد در برابر B= m^n حالت ممکن فقط تعداد A =
( m)( m -1)(m-2)...(m -(n-1) )
= m! / ( m-n)!
حالت آنست که منجر به پر شدن خانه‌ها با گزینه های غیر مشابه می‌شود و احتمال آنکه چنین نباشد ( یعنی حداقل دو خانه مشابه باشد) برابر خواهد بود با:
100% - B/A %
اگر با فاکتوریل آشنا باشد فرمول ساده شده آنرا در انتهای تصویر پیوست آوردیم.

اما برای مساله مورد نظر ما تعداد ۳۶۵ روز است که بین n شخص توزیع می‌شود. باید آنرا برای n=75 و m= 365 محاسبه کنیم.

جزییات آنرا برای حالت ساده‌تر یعنی جمعی ۲۳ نفره محاسبه کردیم که در پیوست بعدی مشاهده می‌کنید.
t.me/FarazTed/14854

نتیجه ۵۰.۷۳٪ یعنی چه ؟
یعنی در میان جمعی ۲۳ نفره می‌توانید اعلام کنید به احتمال ۵۰٪ تاریخ تولد حداقل دو نفر آنان با هم مساوی است.
اما اگر با همین روش برای ۷۵ نفر محاسبه کنید نتیجه اعجاب‌آور است.
در جمع ۷۵ نفره می‌توانید با احتمال نزدیک به صددرصد ( ۹۹.۹۷٪) اعلام کنید که دو تاریخ تولد مشابه وجود دارد.
در پیوست منحنی تغییرات براساس تعداد را مشاهده می‌کنید.
این امر درظاهر عجیب می نماید اما از منظر احتمالاتی صحیح است.

و در ادامه ببینید
t.me/FarazTed/14858