В кружке из поездки я упомянул, что слово swan пишется и звучит почти так же, как тысячу лет назад.

Действительно, в древнеанглийском англосаксы писали swan (а иногда swon, "a" часто чередовалось с "о" перед носовыми). Корень слова восходит к праиндоевропейскому *swenh₂- "звучать", "шуметь", "петь". В прагерманском оно дало *swanaz, которое уже разошлось по языкам потомкам:
нем. Schwan
нид. zwaan
исл. svanur
шв. svan

Интересно, что от того же ПИЕ корня происходит русское звон, звук, звонкий (хотя есть версии с иным происхождением). Название, скорее всего, дали лебедю-кликуну за его громкие трубные крики либо за характерный свист и гул крыльев в полёте.

При этом в языке англосаксов существовал родственник русского лебедь — ielfetu[ˈi‌yɫ.ve.tu] (о нём мне указали в комментариях), также были фиксации ylfete, ilfetu, ælbitu.

Оба этих слова — и ielfetu, и лебедь — восходят к одному и тому же праиндоевропейскому корню *albʰ- со значением "белый". В славянских языках этот корень через праславянскую форму *olbędь и *elbędь превратился в привычного нам лебедя.

Это именно тот корень, от которого происходит латинское albus "белый" — предок таких знакомых нам слов, как альбинос, альбом (изначально чистая белая дощечка для записей) и, по одной из версий, даже заснеженные горы Альпы.